1.1.1 空间向量及其线性运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 学校：仁寿县第一中学北校区 姓名：周扬 回顾：平面向量的概念 定义 平面中，既有大小又有方向的量叫做向量 长度/模 向量的大小叫做向量的长度（或模） 表示法 几何表示法 字母表示法 用有向线段表示。 A B C D 学校：仁寿县第一中学北校区 姓名：周扬 几类特殊的平面向量 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 平面向量的线性运算 加法 减法 数乘 + + 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 学校：仁寿县第一中学北校区 姓名：周扬 情境：生活中的空间向量 图1 线缆同时受到来 自不同方向的支持力 图2 跳伞运动员同时受到 重力、风力、绳索牵拉力 空间向量的有关概念 定义 与平面向量一样，在空间里，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。 类比平面向量，你能给出空间向量的有关概念吗？ 空间向量的有关概念 长度/模 表示法 几何表示法 字母表示法 用有向线段表示。 A B 几类特殊的空间向量 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 辨析.判断正误. (1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量（ ） (2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同（ ） (3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（ ） (4)将空间所有单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆（ ） (2)× 空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同． (3)× 缺少另一条件：方向相同． (1)× 缺少另一条件：长度相等． (4)× 它们的终点构成一个球面． 空间向量的有关概念 思考：空间向量是如何运算的呢？与平面向量的运算有什么关系吗？ a b a b O A B 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算，都可以转化为平面向量的运算. 空间向量的有关概念 空间向量的有关概念 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）： 交换律： 结合律： 分配律： b c a a + b + c a + b b a a + b + c b + c c 练一练：如图,已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量. A B C D A1 B1 C1 D1 (1) (2) (3) (4) 练一练：已知空间四边形中，向量 ， ，若为的中点，为的重心，试用， ， 表示下列向量： （1） ； （2） . A M C G D B 空间向量的共线向量定理 共线向量定理：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使. 空间向量的共线 [解析] (1)=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2,又因为与有公共点B,所以A,B,D三点一定共线. A 例3(1)已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 (　　) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D (2)若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为　　　　.  - [解析] (2)若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数λ,使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2],又非零空间向量e1,e2不共线,∴∴k=-. 方向向量 是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得. 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量 共面向量 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面， 也可能不共面. d b a c 共面向量：平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 空间向量的共面向量定理 共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是 b 例4：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.求证：，，，四点共面. 例4：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.求证：，，，四点共面. 证明：因为， 所以 因为四边形是平行四边形，所以 因此 由向量共面的充要条件可知，，共面，又 过同一点，从而，，，四点共面. 、、三点共线 、、、 点共面 练习1：已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线，如果，则的值为____________ 【答案】 ， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 练习2：已知