3.3.1抛物线及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. · M F l 0＜e ＜1 (2) 当e＞1时，是双曲线; (1)当0<e<1时,是椭圆; (其中定点不在定直线上) l F · M e＞1 那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？ 椭圆、双曲线的第二定义： 复习回顾 2 知识要点1 当e=1时，即|MF|=|MH| ， 点M的轨迹是什么？ 几何画板观察 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线. M · F l · e=1 新知探究 4 3.3.1抛物线及其标准方程 M · F l · e=1 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线 |MF|=d d 为 M 到 l 的距离 准线 焦点 d 抛物线的定义: 建构数学 我们就是抛物线，你是焦点，我是准线， 你想我有多深，我念你便有多真。 抛物线有感 5 知识要点2 标准方程的推导 · · F M l N 步骤： （1）建系 （2）设点 （3）限式 （4）化简 （5）证明 求曲线方程的基本步骤是怎样的？ 想一想？ y x o y=ax2+bx+c y=ax2+c y=ax2 看看上面的方程哪一种简单，为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？ · · F M l N 标准方程 把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. p的几何意义是: 焦点到准线的距离。 焦点坐标是 准线方程为: y l F O x 8 例1 1.建系 2.设点 3.限式 4.代入，化简, l 解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy. 两边平方,整理得 x K y o M(x,y) F 标准方程的推导 依题意得 5.证明（略） 这就是所求的轨迹方程. 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式. 抛物线的标准方程还有几种不同的形式? ﹒ y x o 方案(1) ﹒ y x o 方案(2) ﹒ y x o 方案(3) ﹒ y x o 方案(4) 建构数学 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 抛物线标准方程的四种形式 x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py F(- - - - p>0 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ y l F O x y l F O x x y l F O y l F O x (2)一次项的系数的正负决定了开口方向. 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ (1)一次项的变量如为x（或x）,则x轴（或x轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上. 例1.（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的方程是y = －6x2,求它的焦点坐标和准线方程； （3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。 解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x = - 8y 2 32 解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０） 32 准线方程为x=- －. 解:方程可化为: 故焦点坐标 为 ,准线方程为 例题讲解 口答： 1.根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3，0）； （2）准线方程 是x = （3）焦点到准线的距离是2。 y2 =12x y2 =x y2 =4x 、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y P132.练习1 2.求下列抛物线的焦点坐标和标准方程 （1）y2 = 20x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 焦点坐标 准线方程 （1） （2） （3） （4） （5，0） x= -5 （0，—） 1 8 y= - — 1 8 8 x= — 5 （- —，0） 5 8 （0，-2） y=2 例2.一种卫星接收天线的轴截面如下图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为1m。建立适