4.5一元二次方程根的判别式 导学案 2023—2024学年青岛版数学九年级上册

§4.5一元二次方程根的判别式 编制人：陈凯祥 钱先华 宋天义 审核人：陈凯祥 学案编号：44 使用时间： 班级 姓名 4.5 一元二次方程根的判别式 【学习目标】 1.经历一元二次方程根的判别式的探索过程； 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等； 3.培养学生的符号意识以及判断、分析和归纳能力，感悟分类的数学思想。 【学习重点】 一元二次方程根的判别式的应用 【学习难点】一元二次方程根的三种情况的推导及结论的理解 【学习过程】 一、复习引入 1.用配方法，得出的求根公式是什么？ 2.什么数才有算术平方根？ 二、新知探究 （1）分别用公式法和配方法解方程：x2+2x+5=0，你有什么发现？ x2+2x+5=0（公式法） x2+2x+5=0（配方法） （2）回忆求根公式，什么条件下才可以利用求根公式？ （3） 利用求根公式分别计算方程： x2+2x+1=0 x2 + 4x - 5 = 0 x2+2x+5=0 结合上述3个方程，你发现当b2-4ac >0与b2-4ac=0时，方程的两个根分别具有什么特征？ ①当b2-4ac=0时，方程有_________的实根：________________________________ ②当b2-4ac>0时，方程有_________的实根：________________________________ ③当b2-4ac<0时，方程______实根 知识点1.根的判别式 ●一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程系数的代数式b2-4ac的值的符号，因而把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac。 ●一元二次方程ax2+bx+c=0 当Δ>0时⇔有________________的实根； 当Δ=0时⇔有________________的实根； 当Δ<0时⇔ ____实根； 【跟踪练习】不解方程，判断下列方程根的情况，并说明理由； （1）3y2-5y-2=0 （2）2x2-9x+6=0 （3）5x2+10x+6=0 （4）5t 2-2t+3=0 三、典型例题 例1.不解方程，判断下列方程根的情况，并说明理由： （1）2x2+x-4=0 （2）4y2+9=12y （3）5（t2+1）-6t=0 例2.已知关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0，有两个不相等的实根。 （1） 求k的取值范围 （2）选择一个k的正整数值，并求解方程的根。 例3.有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2 - 12x + k = 0的两根，求k 的值。 【变式练习】 1、关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0 有实数根，则k的取值范围是______________ 2、关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0 有实数根，则a的取值范围是______________ 3、若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围是________________ 4、已知关于x的一元二次方程 kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______________ 四、课堂小结 本节课你有什么收获？ 对于方程ax2+bx+c=0 ①一元二次方程有两个不相等的实根⇔b2-4ac＞0且a ≠ 0 ②一元二次方程有两个相等的实根⇔b2-4ac = 0 ③方程有两个实根b2-4ac  0且a  0 ④方程有实根⇔b2-4ac ≥ 0 五、当堂检测 1. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）3y2- 5y - 2 = 0；（2）2x2 - 9x + 6 = 0；（3）5x2 +10x + 6 = 0；（4）5t2 - 2t + 3 = 0。 2. 关于x的一元二次方程3x2 - 4x +（k + 1）= 0有两个相等的实根，则k的取值范围是____________ 3.已知关于x的方程mx2 + mx + 5 = m有两个相等的实根，则m的值是____________ 六、课后分层作业 【基础闯关】 1．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣4 2．下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（　　） A．2x2﹣2x﹣9＝0 B．x2﹣10x+1＝0 C． D．