15.3 分式方程 第1课时 分式方程的解法. 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十五章 分 式 15.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 问题引入 问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 问题引入 分析： 设江水的流速为v千米/时，根据题意，得 ① 方程①有何特点？ 定义 此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 你还能举出一个分式方程的例子吗？ 判断下列各式哪些是分式方程? 练习 （1）是整式方程 （2）是整式方程 （3）是分式 （5）是分式方程 （4）是分式方程 新知探究 思考：怎样解分式方程呢？ （1）回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ （2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ 方程① 可以解答如下： v＝6 解这个整式方程，得： 解：方程两边同乘（30+ v）（30－v）得： 90（30－v）＝60（30+ v） 转化 整式方程 去分母 v=6是原分式方程的解吗？ 检验：将v=6代入原分式方程中，左边= =右边， 因此v=6是原分式方程的解. 所以江水的流速为6 km/h. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 概括 试一试 解方程： 解：方程两边同乘（x2-25）约去分母，得： x+5＝10 解得：x ＝ 5 检验：当x=5时，原分式方程左边和右边的分母（x-5）与（x2-25）都得0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=5不是原分式方程的根，应当舍去. ② 所以原分式方程无解 x=5是原分式方程的解吗？ 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 90(30-v)=60(30+v) 两边同乘(30+v)(30-v) 当x=6时,(30+v)(30-v)≠0 我们再来观察去分母的过程: x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 解分式方程，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根. 产生“增根”的原因在哪里呢？ 注意:在解分式方程时必须进行检验. 验根的方法 检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程的分母为0. 有时为了简便起见，也可以将它代入所乘最简公分母，看它的值是否为 0，如果为 0，即为增根. 例1 解方程 典例分析 2x=3(x-3) 解：方程两边乘x(x-3)，得: 解得: x=9 检验： 当x=9时，x(x-3) ≠0 所以，原分式方程的解为 x＝9 例2 解方程 典例分析 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得: 解得: x=1 检验：当x=1时，(x-1)(x+2) ＝0 ,因此x＝1不是原方程的解. 所以，原分式方程无解 课堂练习 解下列方程： 解：方程两边乘x(x-2)，得: 5(x-2)=7x 解得: x=-5 检验： 当x=-5时，x(x-2) ≠0 所以，原分式方程的解为 x＝-5 解：方程两边乘(x+3)(x-1)，得: 2(x-1)=x+3 解得: x=5 检验： 当x=5时， (x+3)(x-1) ≠0 所以，原分式方程的解为 x＝5 课堂小结 1.分式方程定义： 分母中含有未知数的方程. 2.解分式方程的一般步骤如下： x=a 分式方程 x=a是分式方程的解 整式方程 x=a不是分式方程的解 去分母 解整式方程 检验 目标 最简公分母不为0 最简公分母为0 步骤： 一化 二解 三检验 教材第154页习题15.3第1题. 作业 $$