24.2.1 点和圆的位置关系 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.2.1　点和圆的位置关系 下图中点和圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . .A . 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. . B 合 作 探 究 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？ 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系. 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： 点P在圆外 d＞r； 点P在圆上 d=r； 点P在圆内 d＜r. 符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 探究 问题1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ · · · · · 以不与点A重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 问题2：如何过两点A，B作一个圆？ 过两点可以作多少个圆？ · · · · A B 作线段AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆. 问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ A B C D E G F ●o 经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置. 经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 归纳 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. (1)已知圆心、半径，可以确定一个圆. (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 确定一个圆的条件 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆. A B C O (1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； (2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可. 三角形外接圆的作法 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于斜边的中点处； 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置. 思考 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ l1 l2 A B C P 如图，假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l. 这与学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆. 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾 (常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 1.假设命题的结论不成立； 2.从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 反证法的一般步骤 警示误区 假设否定的是命题的结论，而不是已知条件. 在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证. 例1 如图，已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD=3 cm，在直线l 上有P，Q，R 三点，且有PD=4 cm，QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？ 分析：比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况. 解：如图，连接OR，OP，OQ. ∵ PD=4 cm，OD=3 cm，且OD ⊥ l， ∴ OP=5 cm=r. ∴点P 在⊙ O 上. ∵ QD=5 cm，∴ OQ= cm>5 cm， ∴点Q 在⊙ O 外. ∵ RD=3 cm，∴ OR=3 cm<5 cm. ∴点R 在⊙ O 内. 例2 如图，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析：明确四个点中取三个点的组数；数清去掉三个点共线的组数. 例2 如图，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，