导数专题之隐零点问题解决技巧讲义-2024届高三数学一轮复习

导数解答题破解之道系列专题004 导数隐零点破解之道-代换法 “设而不求”思想在导数中的施展 导数隐零点问题综述:导数的零点很多时候无法直接求解或者猜测出来,我们称之为“隐零点”(即能确定零点存在,但无法用显性数字表达).解决此类问题的基本思路是:形式上虚设,运算上代换,数值上估算,策略上等价转化,方法上分离参数,技巧上反客为主. 引题:设函数,若恒成立,求正整数的最大值. 感悟:隐零点虽然不是显性表达的,但是它满足的关系式可以起到关键作用,利用它就可以实现等价转化,把后续的代数式进行化简,从而得到相关问题的解答,因此,隐零点的破解之道就是代换法! 例1:已知,求证恒成立. 注释:两种方法,一种体会隐零点的处理方法,需要恰当估算隐零点所在区间;另一种感受切线不等式的威力。 例2:设,若时,求整数的最大值. 感悟:隐零点直接代入化简,简洁利索。 例3:(2015全国卷)设,求证: 感悟:最后一步处理时代换很讲求技巧,需要细细体会. 例4:(H)设函数,若对任意,恒成立,求的取值范围. 感悟:处理隐零点问题的时候,每次都是简单变形代入即可吗?结合例4,是否有不一样的体验? 例5:(2017全国卷2)已知函数,且,求证:存在唯一的极大值点,且 . 感悟:两种方法,各有千秋,各有难点。 例6:(H)已知函数,其中为大于0的常数;若在内有且只有一个零点,记 表示不超过的最大整数,求的值. 感悟:难度大,最后一步处理双参数时候,构造哪个函数破费思量! 第 1 页 共 1 页 学科网(北京)股份有限公司 $$导数解答题破解之道系列专题004 导数隐零点破解之道---代换法 “设而不求”思想在导数中的施展 导数隐零点问题综述：导数的零点很多时候无法直接求解或者猜测出来，我们称之为“隐零点”(即能确定零点存在，但无法用显性数字表达).解决此类问题的基本思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离参数，技巧上反客为主. 引题：设函数，若恒成立，求正整数的最大值. 参考解答：分离参数法 ，，，故， 又， 故 代入①式可得： 感悟：隐零点虽然不是显性表达的，但是它满足的关系式可以起到关键作用，利用它就可以实现等价转化，把后续的代数式进行化简，从而得到相关问题的解答，因此，隐零点的破解之道就是代换法！ 例1：已知，求证恒成立. 解法一：直接使用题目给的函数 注：关键是利用隐零点满足的式①，对进行等价变换，之后利用基本不等式，获得问题的解决。值得一提的地方是，需要说明等号取不到的原因. 解法二：试着变形来构造函数 又 注：这种方法最大问题是确定零点的大致区间时候运算量过大，笔算>0不现实，并且最后计算>1也不现实，可惜了这种方法. 解法三：充分利用切线不等式 注：考试时使用切线不等式需要先证再用. 例2：设，若时，求整数的最大值. 解：，, , , 易知 因此， 例3：（2015全国卷）设，求证： 解：，, 因此递增，又，故 同时， 代入①式得 故 感悟：最后一步处理时代换很讲求技巧，需要细细体会. 例4:(H)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围. 解：原题等价于：，令，= 令，显然此为增函数，又则 使得，即，因此 故当 而由①可知：故，即得= ，考虑到函数为递增函数，因此：代入 因此：. 另解：构造函数法 设g(x)＝xe2x－ax－ln x－1(x＞0)，对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，等价于g(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则只需g(x)min≥0即可． 因为g′(x)＝(2x＋1)e2x－a－， 令h(x)＝(2x＋1)e2x－a－(x＞0)， 则h′(x)＝4(x＋1)e2x＋＞0， 所以h(x)＝g′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为当x―→0时，h(x)―→－∞，当x―→＋∞时，h(x)―→＋∞， 所以h(x)＝g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0， 满足(2x0＋1)e2x0－a－＝0， 所以a＝(2x0＋1)e2x0－，且g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(x0)＝x0e2x0－ax0－ln x0－1＝－2xe2x0－ln x0， 则由g(x)min≥0，得2xe2x0＋ln x0≤0， 此时0＜x0＜1，e2x0≤－， 所以2x0＋ln(2x0)≤ln(－ln x0)＋(－ln x0)， 设S(x)＝x＋ln x(x＞0)，则S′(x)＝1＋＞0， 所以函数S(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为S(2x0)≤S(－ln x0)， 所以2x0≤－ln x0即e2x0≤， 所以a＝(2x0＋1)e2x0－≤(2x0＋1)