4.5.3 函数模型的应用 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）高一数学必修第一册导学案 4.5.3函数模型的应用 【知识梳理】 几类常见的函数模型 (1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)． (2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)． (3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (4)指数型函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)． (5)对数型函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)． (6)幂型函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)． (7)对勾函数模型：f(x)＝x＋(k为常数，且k>0)． (8)分段函数模型：这个模型实质是以上两种或两种以上模型的综合，因此应用也十分广泛． 【例题探究】 【类型一】指数型函数模型 【例1】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%且在一定范围内，礼品价格为(n＋1)元时，比礼品价格为n(n∈N＋)元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m(m>0)件． (1)写出礼品价格为n元时，利润yn(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式； (2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润． 【变式训练1】为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%. (1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从第几年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？ (参考数据lg0.11≈－0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301) 【变式训练2】某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示病毒感染人数，得到的观测数据如下： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：①；②.若经过个单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（    ） （参考数据：，，，） A．9 B．10 C．11 D．12 【类型二】对数型函数模型 【例2】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg2≈0.30,31.2≈3.74,31.4≈4.66)． (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？ (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 【变式训练3】中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加 .（结果保留一位小数） 参考数据：. 【变式训练4】我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度I用W/m2表示，但在实际测量时，声音的强度水平用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10·lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12 W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题： (1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平； (2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围． 【类型三】建立拟合函数模型解决实际问题 【例3】某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%. (1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，