3.2 基本不等式课件- 2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第3章 不等式 数学 (SJ) · 高中·必修一 3 . 2 基本不等式≤ (a，b≥0) 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 a 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量： 把物体调换到天平的另一个盘子上， 此时称得物体的质量为 b. 那么如何合 理地表示物体的质量呢? 课本 第 页 51 3 . 2 基本不等式 ≤ (a，b≥0) 简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以 A＝ 表示物体的质量. 这样的做法合理吗? 课本 第 页 51 3 . 2 基本不等式 ≤ (a，b≥0) 设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体实际质量为 M，根据力学原理有 l1M ＝ l2a， l2M ＝ l1b. 将上述两个等式的两边分别相乘，得 l1l2M2＝l1l2ab， 所以 M＝. 课本 第 页 51 3 . 2 基本不等式 ≤ (a，b≥0) 由此可知，物体的实际质量是. 对于正数 a，b，我们把 称为 a，b 的算术平均数， 称为 a，b 的几何平均数. 算术平均数与几何平均数 课本 第 页 51 3 . 2 基本不等式 ≤ (a，b≥0) ● 两个正数 a，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? 课本 第 页 51 3 . 2 基本不等式 ≤ (a，b≥0) 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 当a＞0，b＞0时，我们可以尝试作出长度为 和 的两条线段，再比较这两条线段的长. 课本 第 页 51 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 如图，AB是⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C作CD⊥AB 交⊙O 的半圆于点 D，连接 AD，BD，易知 △ACD∽△DCB，故 ＝，得CD＝. 课本 第 页 51 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 而OD＝，且CD≤OD， 所以 ≤ 当且仅当点 C与点O 重合，即 a＝b 时，等号成立. 也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等. 课本 第 页 52 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 下面证明上述猜想是正确的. 证法 1 对于正数 a，b，有 － ＝ (a＋b－2) ＝ [()2＋()2－2] ＝ (－)2. 因为(－)2 ≥ 0， 所以≥0 ， 即≤ . 当且仅当 ＝ ， 即a＝b时，等号成立. 课本 第 页 52 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 证法 2 对于正数 a，b，要证 ≤ . 只要证 2≤ a＋b， 只要证 0≤a－2＋b， 只要证 0≤(－)2. 因为最后一个不等式成立，所以 ≤ 成立，当且仅当 a＝b 时，等号成立. 课本 第 页 52 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 证法 3 对于正数 a，b，有 (－)2≥0， ⇒ a＋b－2≥0， ⇒ a＋b≥2， ⇒ ≥a＋b. 当且仅当 a＝b 时，等号成立. 课本 第 页 52 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 (1) 公式： ① 条件：a，b是正数； ② 结论：____________； ③ 等号成立：当且仅当 a＝b 时. 一、基本不等式 ≤ 当 a，b≥0时，这个不等式仍然成立. 我们把不等式≤ (a，b≥0) 称为基本不等式. 课本 第 页 53 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 (2) 本质： 基本不等式表明，两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 . 课本 第 页 53 3 . 2 . 1 基本不等式的证明 (3) 变形式： 当 a，b∈R 时，由(a－b)2≥0可得 a2＋b2≥2ab，a2＋b2＋2ab≥4ab， 即 ≥ab，()2≥ab， 当且仅当 a＝b时，其中的等号成立. 当 a＞0，b＞0 时，请用基本不等式证明这两个不等式. 课本 第