4.5.3 函数模型的应用（二）课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用（二） 人教A版（2019) 教学目标 学习目标 数学素养 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 1.数学运算素养. 2.能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题. 2.数学建模素养. 3.了解拟合函数函数模型并解决实际问题. 3.数学建模素养. 温故知新 我们知道 ，函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画. 面临一个实际问题 ，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ （一）常用的函数模型 1.直线型：y＝kx＋b(k≠0)； 3.抛物线型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 4.指数函数型：y＝a·bx＋c(a≠0,b>0,且b≠1)； 5.对数函数型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，且a≠1)； 6.幂函数型：y＝a·xn(a≠0)； 7.分段函数： 2.反比例函数型：; 温故知新 （二）解决函数实际应用问题的一般步骤是： 而在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，例如上一节中的两个例题.有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决，这样的问题如何解决？ 1 设变量 2 建立函数模型 3 求解函数模型 4 解决实际问题 新知讲解 【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据. 一、建立确定性的函数模型解决实际问题 新知讲解 思考问题： 投资方案选择的原则： 投入资金相同，回报量多者为优. 1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么? 回报的累积值 2.例题中涉及哪些数量关系？ 投资天数，回报金额 3.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？ 每天的回报数、增加量、累计回报数 新知讲解 解： 设第x天所得回报是y元，则 方案一可以用函数y=40 (x∈N*)进行描述； 方案二可以用函数y=10x (x∈N*)进行描述； 方案三可以用函数y=(x∈N*)进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数. 要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析. 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（见下表）. 新知讲解 x/天 方案一 方案二   方案三 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 1 40 0 10   0.4   2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 … … … … … … … 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 再画出三个函数图象（如右图）. 你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？ 函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，用虚线连接离散的点. 新知讲解 由上表和图可知， 方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的. 新知讲解 从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元. 根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5～8天选方案二，投资8天以上选方案三？ 方案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 下面再看累计的回报数，通过信息技术 列表如下. 新知讲