第2章 空间向量与立体几何练习-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 练习 一、单选题 1．在直三棱柱中，，，点在线段上运动，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．当为中点时，AP与BC成角最大 C．当为中点时，AP与成角最小 D．存在点，使得 2．与向量同向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则直线与平面交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．若，则=（    ） A． B． C． D． 6．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，为坐标原点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的坐标为(　　) A． B． C． D． 8．已知空间中两条直线、异面且垂直，平面且，若点到、距离相等，则点在平面内的轨迹为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 二、多选题 9．已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．、、、四点可以共面 B． C． D． 10．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．点C1到直线B1C的距离为1 C．异面直线与所成角的正切值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 11．已知正方体的棱长为1，H为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（    ） A．二面角的大小为 B． C．若O在正方形内部，且，则点O的轨迹长度为 D．若平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为 12．给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 三、填空题 13．设直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α的位置关系是 . 14．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 15．如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点．那么异面直线AF和CE所成角的余弦值等于 .    16．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 . 四、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18．已知菱形中，对角线与相交于一点，，将沿着折起得，连接. (1)求证：平面平面； (2)若点在平面上的投影恰好是的重心，求直线与底面所成角的正弦值. 19．如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，，过棱的中点，作交于点，连接，．    (1)确定点的位置； (2)证明：平面； (3)求平面与平面的夹角． 20．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，. (1)若M，N分别为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 21．如图， 三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点 (1)求证：平面： (2)求二面角的余弦值； 22．如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 参考答案： 1．C 【分析】举特例否定选项A；求得AP与BC成角最大时点位置判断选项B；求得AP与成角最小时点位置判断选项C；求得时点位置判断选项D. 【详解】由题意得，两两垂直，不妨令 以C为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则 选项A：当点P与点B重合时，由为梯形的两个腰， 可得相交，则直线平面位置关系为相交.判断错误； 选项B：设AP与BC成角为，, 由，可得 当时，即两点重合时，，AP与BC成角为.判断错误； 选项C：设AP与成角为，由，可得 又，在单调递减， 则当即为中点时，AP与成角最小.判断正确； 选项D：, 由，解得（舍）， 则不存在点，使得.判断错误. 故选：C 2．A 【分析】与向量同向的单位向量为，求解即可． 【详解】因为，所以与向量同向的单位向量为． 故选：A. 3．B 【分析】利用空间向量垂直或平行的坐标表示，即可判断选项. 【详解】因为，所以， ，所以. 故选：B 4．D 【分析】设出线与平面交点的坐标，利用向量共线列出方程组，求出，从而求出答案. 【详解】设直线与平面交点的坐标是， 则，又，与共线， ∴存在实数使得，即，解得：， ∴. 故选：D 5．D 【分析】利用向量线性关系的坐标运算求即可. 【详解】. 故选：D 6．C 【分析】根据空间基