湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题

2024届高三暑假作业检测试卷 数学 本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知（i为虚数单位），其中a，b为实数，则a，b的值分别为（ ） A．-1，1 B．1，-1 C．1，1 D．-1，-1 3．设P是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于（ ） A．1 B．8 C．17 D．1或17 4．为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被 抽取的人数为（ ） A．36 B．42 C．50 D．54 5．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为2π的扇形，则该圆锥轴截面的面积（ ） A． B． C． D． 6．已知，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（ ） A． B． C． D． 8．设，，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．已知圆M：，以下结论正确的是（ ） A．过点与圆M相切的直线方程为 B．圆M与圆N：相交 C．过点可以作两条直线与圆M相切 D．圆M上的点到直线的距离的最大值为3 11．在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线C：的焦点，两点，在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ） A．抛物线C的方程为 B． C．以AB为直径的圆的方程是 D．A，F，B三点共线 12．定义在R上的函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是（ ） A． B． C．不存在，，使得 D．存在，，使得 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知，，则______． 14．设等差数列的前n项和为，已知，则______． 15．已知函数，则______． 16．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． （1）求角C； （2）若，的面积为，求的值． 18．（12分）已知数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求． 19．（12分）如图所示，直三棱柱中，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面BDE所成角的正弦值． 20．（12分）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表： 性别 观感情况 总计 一般 激动 男性 90 120 女性 25 总计 200 （1）填补上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？ （2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 21．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点B是椭圆C的上顶点，△BF₁F₂是等边三角形，的内切圆的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知T在x轴负半轴上且，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求面积的最大值． 22．（12分）已知函数． （1）若在处的切线方程平行于直线，求t的值以及此时的切线方程； （2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数t的取值范