第二十一章一元二次方程之综合教案2023—2024学年人教版数学九年级上册

一元二次方程综合 1基本定义与方程的根 ①一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． ②一元二次方程有三个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程，如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． ③一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． ④方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根． 2一元二次方程的解法 法一：直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． ① x2=a（a≥0） 解为：x= ②（x+a）2=b（b≥0） 解为：x+a= ③（ax+b）2=c（c≥0） 解为：ax+b= ④（ax+b）2=（cx+d）2（|a|≠|c|） 解为：ax+b= 直接开平方法其实可类比绝对值方程的形式； 如|x|=a；|x+a|=b；|ax+b|=c；|ax+b|=|cx+d|；考虑一下绝对值方程应该怎么解？ 法二：配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且还常用于求最值，配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 先将已知方程化为一般形式； ② 化二次项系数为1； ③ 常数项移到右边； ④ 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，变形为(x+p)2=q； ⑤ 直接开平方． 法三：公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程的求根公式： 法四：因式分解法 因式分解法就是利用因式分解（提公因式分解，十字相乘法）的手段，将方程化为的形式，则．求出方程的解的方法，这种方法是解一元二次方程最常用的方法． 方法选择技巧： ax2+c=0 ====>直接开平方法 ax2+bx=0 ====>因式分解法 ax2+bx+c=0 ====>因式分解法、公式法、配方法 a=1，优先考虑十字相乘法，再考虑配方和公式法； a≠1且b是a的偶数倍，优先考虑配方法，再考虑公式法； a≠1或者a、b、c的系数中带有根号，直接考虑公式法； 3根的判别式 根的判别式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是： ◆当时，方程有两个不相等的实数根； ◆当时，方程有两个相等的实数根； ◆当时，方程无实数根． 若方程有实数根，则有． 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0； (3)证明恒为正数的常用方法：配方成“完全平方式+正数”的形式． 4韦达定理 若一元二次方程的两个实数根为，则． 此关系式称为韦达定理． 温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根． 5一元二次方程的应用 一元二次方程应用题与一元一次方程应用题的解题步骤基本相同，也要经过审、设、列、解、答五个步骤， 审：审题，并把相关的数据、等量关系圈出来； 设：设元，一般遵循设小不设大的原则； 列：将实际问题中本质的联系抽象为数学模型； 解：解方程求出题中未知数的值； 答：依题意作答，并且需注意答案是否符合题目要求、是否符合实际情况、是否包含单位． 例1．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（　　） A．a≠±1 B．a=1 C．a=﹣1 D．a=±1 例2．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则式子2m2﹣2m﹣7的值等于___________． 1．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0 （1）当k取何值时，它是一元一次方程？ （2）当k取何值时，它是一元二次方程？ 2．已知实数a是方程x2+4x+1＝0的根． （1）计算2a2+8a+2017的值； （2）计算1﹣a﹣的值． 3．阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）