临界生三角、几何、数列冲刺练（5）-2024届高三数学一轮复习

临界生三角、几何、数列冲刺练（5） 时间：__60分钟___ 班级：_________ 姓名：_________ 1．在中，分别是的对边，． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 2．在斜三角形中，内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的最小值． 3．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. (1)求证：平面PBD； (2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； (3)求D到平面APM的距离. 5．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 6．已知数列满足 (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求的前项和 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．【详解】（1），由正弦定理，有， ，， 所以， ，又，得，又, . （2），，，. 当且仅当时等号成立.此时. 所以面积的最大值的为. 2．【详解】（1）由题意证明如下， 在中，， ， ， ， 又为斜三角形，则， ， ， ∵为的内角， . （2）由题意及（1）得， 在中，，，是等腰三角形， 由正弦定理，则， 又，即， ， ， 令， ， 又因为，即， 当即时，取最小值，且， ∴的最小值为． 3．【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． （2）因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 4．【详解】（1）因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； （3）由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM的距离为 5．【详解】（1）解：由题意，数列满足， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，所以， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）解：令，由， 可得， 所以， 因为，可得，所以. 6．【详解】（1）因为， 所以，又， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，，∴， ∵，∴， ∴ 令 两式相减， 所以 所以， 又， ∴ 答案第2页，共6页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$