3.3幂函数与对勾函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

幂函数与对勾函数 【建议课时】2 【学习目标】 1、 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式； 2、 熟记常见幂函数的图象与性质，能利用幂函数的单调性比较大小． 【知识点梳理】 1. 幂函数的定义：形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 注:若一个函数为幂函数，则前的系数必为． 2. 五种常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 减增 增 增 和减 公共点 都经过点 3. 对勾函数的定义：形如的函数．对勾函数由图象得名，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“耐克函数”等． 4. 对勾函数的图象及性质 对勾函数 图象 定义域 值域 单调性 ，上单调递增 ，上单调递减 奇偶性 奇函数 最值 当时，该函数在处取最小值，最小值为； 当时，该函数无最值； 当时，该函数在处取最大值，最大值为 【知识点点睛】 1． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2． 对勾函数的最值可由基本不等式推得：对于对勾函数，当时，，，因此由基本不等式可推得，当且仅当，即时等号成立．当时的情况可以此类推． 【题型精讲】 题型一 幂函数的概念 【例1】若函数为幂函数，则______________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得的系数必为1，列出方程求出的值． 【详解】解：因为函数为幂函数， 所以的系数必为， 即，解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了幂函数的定义以及解析式形式的应用，属于基础题． 【变式训练1】已知幂函数在上单调递减，则（ ） A．3 B． C．或3 D．1或 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质列出方程和不等式，可得的值． 【详解】幂函数在上单调递减，则，解得 故选：B 【变式训练2】已知幂函数（，，互质），下列关于的结论正确的是_____． A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 E． m，n是奇数时，幂函数的定义域为 【答案】ACE 【解析】 ， 当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确． 故填：ACE． 题型二 幂函数的图象及性质 【例2】已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用幂函数的性质可得，且为偶数，，解出即可． 【详解】由题意可得：且为偶数，， 解得，且为偶数，， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式训练1】若幂函数的图象经过点，则在定义域内函数（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．为增函数 D．为减函数 【答案】A 【分析】设幂函数，代入点，得到，从而得到的解析式，从而得到答案． 【详解】幂函数， 代入点， 得，所以， 所以， 所以有最小值． 故选：A． 【点评】本题考查求幂函数的解析式，幂函数的性质，属于简单题． 【变式训练2】若幂函数（，且互素）的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且 【答案】C 【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果． 【详解】将分数指数式化为根式，， 由定义域为，值域为知为奇数，为偶数，故排除A、D， 又由幂函数，当时，图象在第一象限的部分下凸， 当时，图象在第一象限的部分上凸． 故选：C 【点评】本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题． 【变式训练3】若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，利用求出函数的图象所过的定点坐标，然后利用两函数图象的对称关系可求出函数所过定点的坐标． 【详解】，，， 所以，函数的图象过定点， 又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点． 故选：D． 【点评】本题考查函数图象所过定点坐标的计算，在解题时要熟悉指数、对数以及幂函数所过