4.1-4.2指数与指数函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数与指数函数 【建议课时】2 【学习目标】 1、 理解次方根及根式的概念，并掌握指数幂的运算性质； 2、 理解指数函数的概念，并掌握其图象性质． 【知识点梳理】 1. 的次方根的定义及表示 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且． 的奇偶性 的次方根的表示符号 的取值范围 为奇数 为偶数 2. 根式及其性质（其中，且） 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． (1) 为奇数时，； (2) 为偶数时，； (3) ； (4) 负数没有偶次方根． 3. 分数指数幂 分数指数幂 正分数指数幂 负分数指数幂 的分数指数幂 的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义 4. 有理数指数幂的运算性质 （1） ； （2） ； （3） ． 5. 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 6. 指数函数及其图象性质 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是． 指数函数的图象和性质： 图象 定义域 值域 共点性 过定点，即时， 函数值的变化范围 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【知识点点睛】 1. 根式性质的适用范围： 为奇数时，，为任意实数； 为偶数且时，才有意义，且； 为偶数，为任意实数时，均有意义，且． 2. 比较指数幂大小的方法： （1） 对于同底数不同指数，根据底数的范围利用单调性来比较 例如，函数以为底，，则该函数在上单调递增，所以； 再例如和的比较，首先先化成分数指数幂的形式和，即可看做以为底的指数函数，根据，该函数在上单调递减，所以． （2） 对于同指数不同底数，依照底大幂大原则比较（若指数为负数，先将指数化为正指数，再遵循底大幂大原则比较） 例如，再例如和，先化成和，所以． （3） 对于不同底数不同指数，则通过寻找中间量（常见的中间值有）来判断 例如比较，，的大小，因为，同理易得且，又因为在上为减函数，且，因此，所以此． 3. 利用指数函数的性质时，一般应先画出指数函数的图象，要抓住其两个特征：过定点以及单调性来画（或三个关键点、和）． 【题型精讲】 题型一 分数指数幂与根式的运算 【例1】下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 分析：根式化简及零指数意义． 解答：对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确； 对于B，，当时无意义，故B不正确； 对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：D． 点评：根式化简注意根指数的奇偶性． 【变式训练1】化简（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 分析：把根式转化成指数式的形式，运用指数运算公式进行运算即可． 解答：． 故选D 点评：本题考查了根式转化为指数式，考查了指数的运算法则，考查了数学运算能力． 【变式训练2】化简或求值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 分析：（1）将根式运算化成指数幂运算，根据指数幂的运算法则可求得结果；（2）根据指数幂运算的运算法则求值即可． 解答：（1）原式 （2）原式 点评：本题考查指数幂运算法则化简求值的问题，属于基础题． 题型二 指数幂的条件求值问题 【例2】设，则_________． 【答案】 分析：由已知得，化简代入可得． 解答：， ， 故答案为： 点评：本题考查同底数幂的乘法运算，适当变形是解题关键，属于基础题． 【变式训练1】若，求下列各式的值: （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）3；（2）4；（3）；（4）． 分析：利用完全平方和公式，立方差公式，立方和公式以及幂的运算性质即可求解． 解答：（1），， ． （2）． （3），． （4）， 即，由（2）得：，． 点评：本题主要考查指数式的化简求值，完全平方和公式，立方差公式，立方和公式的应用，以及幂的运算性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 【变式训练2】（1）已知，化简． （2）设，，，求的值． 【答案】（1）；（2）8 分析：（1）用完全平方公式将根式内多项式配方，再根据指数运算化简； （2）观察题中式子的特点，令，，将用表示出来，简化运算． 解答：（1）由，得， ∴． （2）令，，则 ，， ， ． ∴． 点评：本题考查了指数幂的运算，考查了学生的分析观察能力，运算能力，属于中档题． 题型三 求指数函数的解析式 【例3】已知函数，若，则（ ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 分析：直接将代入函数的解析式，根据指数的运算即可得结果． 解答：∵， ∴，解得，故选A． 点评：本题主要考察了已