4.3-4.4对数与对数函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数与对数函数 【建议课时】1 【学习目标】 1、 理解对数的运算性质和换底公式，会进行对数式与指数式的互化； 2、 掌握对数函数的性质即图象特点． 【知识点梳理】 1．对数 概念 如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数，叫做对数式 常用对数 将以为底的对数叫做常用对数，并把记为 自然对数 以为底的对数称为自然对数，并把记为 性质 对数式与指数式的互化： 对数恒等式： ， 运算法则 ，且，， 换底公式 （，且；；，且） 推论：， （，且；，且；） 2. 对数函数及其图象性质 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是． 图象 定义域 值域 共点性 过定点，即时， 函数值的变化范围 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 在区间上是增函数 在区间上是减函数 对称性 函数与的图象关于轴对称 3．反函数 指数函数与对数函数互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同． 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． 【知识点点睛】 1．对数恒等式的应用 （1）对数恒等式的直接应用 （2）不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解：变形 首先借助指数幂的运算性质，使其变形为能够直接运用对数恒等式的形式 求值 借助对数恒等式（，且，）及指数幂的运算求值 2．对数型函数图象过定点问题 求函数的图象过定点时，只需令求出，即得定点为． 例如求函数的图象必过的定点时，令，即时，恒成立，综合可知定点为． 3．对数式值的大小比较可按以下类型进行： （1） 比较两个同底数的对数值的大小，利用单调性比较大小． 例如比较与的大小，其中，且 ①若，，，则 ②若，，，则 （2） 比较两个同真数的对数值的大小，例如比较与，其中 ①若， 当时，； 当时，． ②若， 当时，； 当时，． ③若 当时，； 当时，． 4．在运算性质中，要特别注意条件（前提是保证真数大于） (1)当有这个条件时，； (2)当无这个条件时，应该为 5．解决与对数函数有关的问题时要注意两点： （1） 务必先研究函数的定义域； （2） 注意对数底数的取值范围： 例如要求函数的单调递增区间时，根据真数，得，此时对数底数，由复合函数同增异减，单增区间为：；再比如求解函数的定义域，可列不等式组，得，则函数定义域为． 【题型精讲】 题型一 对数的运算性质及恒等变形 【例1】设，则的值为（ ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】D 分析：根据指数式与对数式的互化公式，结合已知和对数的运算性质进行求解即可． 解答：由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436， ∴＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1． 故选：D 点评：本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力． 【变式训练1】化简的结果是（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 分析：由对数运算性质可知，再利用，化简计算可得结果． 解答：原式． 故选：C． 点评：本题考查对数运算性质，考查计算能力，属于基础题． 【变式训练2】计算： (1)； (2)． 【答案】（1）（2）1 分析：将对数化为的形式，再利用求值，注意． 利用对数的运算性质，将分母的对数式变形，使它们的真数化为2或3，即可找到分子分母的关系，进而求值． 解答：解　(1)(log33)2＋log0．25＋9log5－log1 ＝2＋1＋9×－0＝＋1＋＝． (2)＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝1． 点评：本题考查对数的运算性质，考查学生对对数的运算性质的掌握程度及学生的运算、化简能力．对数式的求值，对数可化为的形式，再利用可求值． 题型二 换底公式 【例2】若，则等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 分析：利用换底公式以及对数的运算性质即可求解． 解答：由， 则． 故选：D 点评：本题考查了换底公式以及对数的运算性质，需熟记对数的运算法则，属于基础题． 【变式训练1】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 分析：利用，把用表示，并得到，构造幂函数，利用幂函数的单调性，得到结果． 解答： 设，则， 则 则 设函数， 在单调递减 即，因此 故选B项． 点评：本题考查对数与指数关系，构造函数，幂函数的特点等，属于中档题． 【变式训练2】（1）证明对数换底公式：（其中且，且，） （2）已知，试用表示． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 分析：