3.4函数的零点讲义（存在定理、二分法）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的零点 【建议课时】2 【学习目标】 1、 了解函数零点存在定理以及会用二分法求方程的近似解； 2、 结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 【知识点梳理】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． (2)几个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的根． 2．二次函数的图象与零点的关系 图象 与轴的交点 ， 无交点 零点个数 3．二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法叫做二分法． 用二分法求函数零点近似值的步骤（给定精确度）： 1. 确定零点的初始区间，验证； 2. 求区间的中点； 3. 计算，并进一步确定零点所在的区间： (1) 若（此时），则就是函数的零点； (2) 若（此时），则令； (3) 若（此时），则令； 4. 判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值（或）；否则， 重复步骤． 【知识点点睛】 1、 判断函数零点的几个策略 （1） 令，直接求出零点，若能求出解，则有几个不同的解就是有几个零点； （2） 利用零点存在性定理并结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性等）确定函数有几个零点； 例如要求函数的零点个数，根据函数在上是增函数，将和分别代入，得，，即，所以函数有唯一零点，且在内． （3） 当式子比较复杂时，内部含有多个基本初等函数时（一般情况下两个），可将它们化在等号两端，此时将函数零点问题转化为了方程问题，即两个函数图象交点问题，则有几个交点就有几个零点． 2、 利用函数零点个数研究参数量的取值范围 （1）直接法：直接根据题意构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）确定参数范围； 例如函数在上有零点，则求的取值范围．简单分析可得，即函数的零点大小为，则，即． （2） 分离参数法：将参数分离，转化成求函数最值问题； 例如已知函数，若函数有个零点，则求实数的取值范围． 分析函数有个零点，转化为的根有个，进而转化为，的交点有个．画出函数的图象，则直线与其有个公共点．又抛物线顶点为，由图可知实数的取值范围是． （3） 数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合法构建关于参数的不等式（组）求解． 例如已知函数，．若存在个零点，则求的取值范围． 分析：可令，则．在同一坐标系中画出，的示意图，如图所示．若存在个零点，则的图象与的图象有个交点，平移的图象，可知当直线过点时，有个交点，此时，．当在上方，即时，仅有个交点，不符合题意．当在下方，即时，有个交点，符合题意．综上，的取值范围是． 【题型精讲】 题型一 求函数的零点 【例1】函数的零点是（ ） A． B．和 C．和 D．以上都不是 【答案】C 分析：当时对应的的值即为所求的零点． 解答：令，即，解得：或， 的零点是和． 故选：． 点评：本题考查函数零点的求解问题，易错点是误认为零点为一个点的坐标，实际零点是函数值为零时，对应的自变量的值． 题型二 判断函数的零点个数 【例2】函数的零点个数为_______． 【答案】 分析：作出函数与的部分图象，观察交点个数并结合两个函数的增长趋势即可得出结论． 解答：由，作出函数与的部分图象， 可知两函数在区间上的图象有两个交点， 并注意到指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度，所以两函数在区间上必有一个交点， 因此，函数与的图象有个交点， 所以，函数有个零点． 故答案为：． 点评：本题考查函数的零点个数，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题． 【变式训练1】已知函数(为自然对数的底数)，则函数的零点个数为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 分析：利用换元法将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后结合函数的性质确定交点的范围，最后利用交点的范围即可确定原函数零点的个数． 解答：解：，则由得． 作出的函数图象如图所示： 设直线与曲线相切，切点为，， 则，解得，． 设直线与曲线相切，切点为，， 则，解得． 故直线与的图象有4个交点， 不妨设4个交点横坐标为，，，且， 由图象可知， 由的函数图象可知无解，有一个解，有三个解，有两个解， 有6个零点． 故选：． 点评：本题主要考查分段函数及其应用，导数研究函数的切线，数形结合的数学思想，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题． 【变式训练2】已知函数，则方程的根的个数不可能是（ ） A．