3.4函数模型及应用讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数模型及应用 【建议课时】1 【学习目标】 1、 掌握常见函数模型及其解析式； 2、 学会比较和选择函数模型去解决实际问题． 【知识点梳理】 1. 几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (为常数，) 二次函数模型 (为常数，) 幂函数模型 (为常数，，) 对勾函数模型 () 指数函数模型 (为常数，且，) 对数函数模型 (为常数，且，) 2. 三种增长型函数模型的性质比较 函数性质 在上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 相对平稳 越来越快 越来越慢 图象的变化 随值变化而不同 随值的增大图象与轴接近于平行 随值的增大图象与轴接近于平行 联系 ，当时，有 3. 解函数应用题的步骤（四步八字） (1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3) 求模：求解数学模型，得出数学结论； (4) 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 实际问题 实际结果 建立函数模型 数学结果 抽象、转化 分析、联想 答 数学 还原 推演 【知识点点睛】 1. 已知函数模型解决实际问题时，给出的函数解析式往往含有参数，此种情形应用待定系数法，需要将题中的数据代入函数模型，去求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值． 2. 解决未知函数模型的实际问题，主要抓住四点：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． (1) “求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常表现为求函数值． (2) “设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化的根源，通常设变化的根源为自变量． (3) “列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知量表示函数值，直至求出函数解析式． (4) “限制什么”就是指自变量所应满足的限制条件，不仅要考虑自变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的其它所有量是否有意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等． 3. 利用函数模型解决实际应用问题时，要抓住关键：选择和建立恰当的函数模型．用得到的函数进行拟合时，可能误差较大或不切合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切忌盲目下结论． 【题型精讲】 题型一 一次函数模型及其应用 【例1】小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象． （1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______． （2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？ （3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？ 【答案】(1) s=40t–400 (2) 37．5min (3) 3min 【分析】（1）设出对应的函数表达式，将代入列方程组，解方程组求得 对应的函数关系式．（2）设出小明爸爸所走路程与时间的函数关系式，将代入列方程组，解方程组求得明爸爸所走路程与时间的函数关系式，联立这个关系式和（1）中求得的关系式，解方程组求得第三次相遇的时间．（3）先求得小明爸爸全程所用的时间，由此求得小明在步行过程中停留的时间需减少的时间． 【详解】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b， 将（30，800），（60，2000）代入得， ，解得， ∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400． （2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n， 则，解得． 即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200， 解方程组，得， 即小明出发37．5min时与爸爸第三次相遇． （3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75， ∵75–60=15， ∴小明希望比爸爸早18 min到达公园， 则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min． 【点评】本小题主要考查一次函数的实际应用问题，考查二元一次方程组的解法，考查图像分析的方法，属于中档题． 题型二 二次函数模型及其应用 【例2】新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元)． （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴