2023—2024学年苏科版数学八年级上册期中小专题三（全等三角形、轴对称、勾股定理）

几何专题三（全等对称勾股） 一、选择题（本大题共4小题，共9.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.如图，，，，于，的延长线交于，下列结论：；；；，其中正确的结论为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在长方形中，，，动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，画的平分线的过程：先在的两边，上分别截取，，使；再分别过点，作，，交于点，最后作射线，则可得即为的平分线．那么判定≌的理由是(    ) A. B. C. D. 4.如图，等边的边长为，点从点出发，以秒的速度由向匀速运动，点从点出发，以秒的速度由向匀速运动，、交于点，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若时，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共9.0分） 5.如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为______ ． 6.如图，四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，则______ 7.如图，中，，点为上一点，，若，则的面积为______． 8.如图，是等边三角形内一点，，，是外一点，且≌，连接当为______时，是等腰三角形． 三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9.本小题分我国南宋时期数学家秦九韶约约曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积在中，已知，，． 如图，利用秦九韶公式求的面积； 如图，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离． 10.本小题分在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点． 如图，当时，求证：； 若， 如图，当时，求的值． 是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，并求的值；若不存在，请说明理由． 11.本小题分如图，中，，，平分交于点，过点作，交延长线于点，为的中点，连接，交于点，连接． 线段与线段有何数量关系？并说明理由； 判断的形状，并说明理由． 12.本小题分数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性．观察下列个全等的． 用个全等的拼成如图所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为，还可以表示为______，所以______，将展开整理后，可进一步的得到等式：______． 用个全等的还可以拼成如图所示的大正方形，请利用图证明中等式成立． 若已知中，，，利用你得到的等式求的值． 13.本小题分如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上 若，求，的度数； 若，，求的长度． 14.本小题分如图，中，，，在的外侧作直线，点关于直线的对称点为点，连接，，其中交直线于点． 依题意补全图形； 若，求的度数； 连结，若，，求长． 15.本小题分如图，平分，于，于，且． 与是否相等？请说明理由； 若，，则的长为______ ． 16.本小题分同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形． 如图，以等边的边为腰作等腰直角，其中，，点，点都在同侧，延长、交于点、连接，求的度数． 如图，在的条件下，作平分交于点，求证：； 如图，将图的沿着翻折得到，连接，为中点，连接并延长交于点、请猜测、、三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 第15页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 答案和解析 1.【答案】  【解析】证明：在上截取， ， ， ，， 在和中， ， ≌， ，， ， 在和中， ， ≌， ． 延长使，如图所示： ，， 四边形是平行四边形， ，，的面积平行四边形的面积的面积， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ． ， 故正确， 故选：． 在上截取，易证≌，可得和，即可求证≌，可得，再作倍长中线，证明≌可得结论． 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中正确作出辅助线，求证≌和≌，≌是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：设中边上的高是． ， ， ， 动点在与平行且与的距离是的直线上， ，关于直线对称，连接交直线于点，的长就是所求的最短距离． 在中，，， ， 即的最小值为． 故选：． 首先证明动点在与平行且与的距离是的直线上，由，关于直线对称，连接交直线于点，的长就是所求的最短距离． 本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：判定≌的理由是， 理由是：，， ， 在和中， ， ≌， 故选：． 根据两直角三角形全等的判定定理得出即可． 本题考查了全等三角形的判定定理