第26章 反比例函数 专题二 反比例函数中几何图形存在性问题（二） 2022—2023学年人教版数学九年级下册

九年级数学下分层优化堂堂清 第26章 反比例函数 专题二 反比例函数中几何图形存在性问题（二） 解题攻略 1. 步骤： 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． （1）如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． （2）如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 2.方法： 单动点时 （1） 已知三点求第四点问题，用对角线互相平分及中点坐标公式计算； □ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)， 则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD． 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． （2）当图形平行关系已固定： 若固定平行关系是斜向，则作图采用相似三角形比较方便； 若固定平性关系是竖直方向，则采用线段相等解方程比较简便 双动点时 当出现双动点，则分类讨论已有的两个点连线作为边和对角线的情况，不重不漏。 用对角线互相平分及中点坐标公式计算 例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足＝2． （1）求该反比例函数的解析式； （2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标． 例2如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 针对练习1 1 .如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，轴，，，反比例函数的图象经过线段的中点，与交于点．    (1)求点的坐标． (2)求反比例函数的表达式及点的坐标． (3)在坐标平面上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，诸说明理由． 2 .如图，在平面直角坐标系中，已知，，已知点、，且点B在第二象限内． (1)求点B的坐标； (2)将以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使B、C的对应点E、F，恰好落在第一象限内的反比例函数的图像上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、Q、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二 矩形的存在性 解题攻略 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： （AC为对角线时） 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 题型如下： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点． 解题方法 思路1：先直角，再矩形(两定两动） 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用． 要善于利用直角三角形的性质： ①两个锐角互余；②三边平方的等量关系（勾股定理）；③斜边上的中线等于斜边的一半. 转化为直角三角形问题，以定线段为边和对角线来确定分类标准，利用一线三直角相似来确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标。 ①找点：两线一圆②求点:一线三直角相似 ③平移 思路2：先平行，再矩形 分析定点、定角及不变特征，结合图形形成因素（判定等），考虑分类，通常需要转化为一定两动夹角固定直角三角形存在性问题，按照顶角分类。先平行四边形再加一组邻边相等列方程组 例3如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标． 例4如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）． (1)求双曲线的表达式； (2)将直线y＝x