3.3.2 抛物线的简单几何性质（第3课时）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 3 章圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦点弦 通径 离心率 e=1 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 解： (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0. 3 问题1.直线与抛物线有那些位置关系？如何判断呢？ x y O 1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点） (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 问题1.直线与抛物线有那些位置关系？如何判断呢？ 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0), 将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程 k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点. 7 解.①若直线的斜率存在,则过P的直线方程为y＝kx＋1. ②若直线的斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x＝0. (2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0， 即m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)． y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16. 解：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 15 例1已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． (2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝eq \f(2,3)|OM|. 因为F(2,0)，所以|OM|＝eq \f(3,2)|OF|＝3，所以M(3,0)． 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2eq \r(6)或m＝－2eq \r(6)， 所以A(3,2eq \r(6))，B(3，－2eq \r(6))，所以|OA|＝|OB|＝eq \r(33)， 所以△OAB的周长为2eq \r(33)＋4eq \r(6). 练习1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2eq \r(3)，则抛物线的方程为________． 解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±eq \r(3)， 交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，eq \r(3))或(－1，eq \r(3))，设抛物线方程为 y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x. 例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 练习2.求过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 练习2.求过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 例3..已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点． (1)若|AB|＝10，求实数m的值； (2)若OA⊥OB，求实数m的值． (1)因为|AB|＝eq \r(1＋k2) eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(2)·eq \r(64－32m)＝10， 练习3.抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB. 例4.过Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，被点Q所平分，求AB所在直线的方程． 例5.在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 法一：设p(x0，y0)是y2＝2x上任一点， 则点P到直线l的距离d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(\f(y\o\al(2,0),2)－y0＋3,\r(2))＝eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2))，