5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2 同角三角函数的基本关系 1.理解并掌握三角函数的基本关系; 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明. 学习目标 知识回顾 1.三角函数的定义 设是一个任意角，.它的终边OP与单位圆相交于P(x,y) （1）把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即 （2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=； （3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即=. 2.三角函数值在各象限的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 探究新知 +=1 = 同一个角的正弦函数、余弦函数的平方和等于1，商等于角的正切. 由特殊到一般 算一算，填一填 += = = += = = += = = 猜想：你发现了什么规律？你能用代数式表示这个规律吗？你能用自然语言描述这个规律吗? = +=1 探究新知 平方关系： 商数关系： 同一个角的正弦函数、余弦函数的平方和等于1，商等于角的正切. 证明：设点是角的终边与单位圆的交点，过P作轴的垂线交轴于M，则是直角三角形，而且, ,,由勾股定理，得,即 =1， 由 同角三角函数的基本关系 说明： 1.是的简写，读作“的平方”； 2.商数关系成立的条件：; 3.“同角”有两层含义：(1)“角相同”：如； (2) 对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达形式无关：如不一定成立. 变形公式 知一求二 +=1 小试牛刀 思考辨析：（正确画，错误画） (1) 对任意角，=1. ( ) (2) 对任意角， ( ) (3) +=1. ( ) (4) 若是第二象限角，则. ( ) (5) =1. ( ) √ × × × √ 解：因为 ，所以是第三、四象限角. 由，得 =. 当是第三象限角，则， 所以， . 当是第四象限角，则， 所以 . 典例讲解 分类讨论 题型一：已知某个三角函数值，求其余三角函数值（知一求二） 例1.已知，求和的值. 小结：知弦求切，先平方关系，再商数关系，并且在不知象限时，要分类讨论. 方程（组）思想 练习：已知，且是第三象限角，求，的值. 解：由，得， 由，得， 又因为是第三象限角，所以， . 小结：知切求弦，先商数关系，再平方关系，且在开方前根据象限确定符号. 典例讲解 关于和的齐次式是式子中的每一项都是关于，的式子且它们的次数之和相同. 题型二：已知，求关于和的齐次式的值. 例2.若，求下列各式的值. (1); (2) 解：（1）原式= = 切弦互化 转化化归 （2）解法一：原式 解法二：原式 练习：已知 解：原式 小结：已知，求关于和齐次式的值. (1)形如的分式，将分子分母同除以，再代入求值. (2)形如，再代入求值. （3）形如的式子，将其看作分母为1的分式，再将分母1变形为，转化成形如的分式求解. 15 典例讲解 左右归一 题型三：三角恒等式的证明 例3.求证： 证法1：由，知,所以,于是 左边 右边. 证法2：由