专题8 椭圆方程及其几何性质讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题八 椭圆方程及几何性质 一、椭圆定义与轨迹方程： 1.到两定点距离之和等于定值 （1），，点P的轨迹方程： . （2），，点P的轨迹方程： . 例：圆与圆均相切，求点的轨迹方程： 2.到定点距离与定直线距离之比是一个小于1的正数（焦点、准线、离心率） ，动点P到的距离与到的距离之比为，点P的轨迹方程： . 3.与两定点所成斜率之积是一个绝对值小于1的负数的点的轨迹： ，动点M的轨迹方程： . 【推论】 椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上任一点P，（斜率存在） 焦点在x轴；焦点在y轴 4.由圆伸缩变换 圆上点作x轴垂线段中点的轨迹（可将椭圆很多性质与圆类比） 二、椭圆几何性质： （二）常见小题中的结论补： 1.“一”中轨迹方程1,2,3结论 2.焦点三角形 ①面积求法和公式，设，面积公式 ②何时最大 ③ 3.焦半径；； 其中p为焦准距，为线段与长轴正方向成角； 1 焦点弦长※时，该焦点弦叫做“通径” 2 （焦点把弦分两段倒数和为定值） ③，（焦点在x轴，若在y轴？本结论一是几何法分析，二是直线与二次曲线通法体现【一类重要处理方法】） 4. 表达的直线是 ①点在椭圆外：该点作椭圆的切线，切点弦所在直线方程； 2 点在椭圆上：该点处的切线方程 3 点在椭圆内：过该点的直线与椭圆交于A,B，，Q的轨迹。 （一）求轨迹方程 1. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3. 平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在 4.（多）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为3 D．若，则 （二）距离相关 1.到轴上：，P在椭圆上，，最大值分别为 2.椭圆内点距离+到焦点距离 已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（  ） 变式：的最值 3.接2：带系数求：的最小值【归纳方法特征： 】 （三）离心率【寻找等量关系或不等关系，只需a,b,c任意两个的关系即可，常利用齐次式整体求解】 1已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 2．已知椭圆的左焦点为F，下顶点为A，AF的延长线交C于点B，若，则C的离心率为 . 3. 已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5. 过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，求该椭圆的离心率. 6.椭圆的通径与中心形成等边三角形，求该椭圆离心率 7.椭圆上顶点和右顶点连线垂直于下顶点与右焦点连线，求离心率 7.焦点弦倾斜角45°两段之比3:1，离心率为 8. 如图，A，B，C分别为椭圆的顶点与焦点，若，求该椭圆的离心率.    三、直线和圆位置关系 1.公共点的个数 与的位置关系 2.距离最值处理办法 （1）已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（    ） A． B．5 C． D． （2）求的最值【两类】 （3）的最值 （4）取值范围 3.中点弦 过点M(-1，-1)直线与椭圆形成的弦恰好以M作为中点，求该直线方程【两种常用办法】 练习 1. 已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 2. 已知点为椭圆上的一个动点，点分别为椭圆的左、右焦点，当的面积为1时，（   ） A． B． C． D． 3. 平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A．B．C．D． 4．为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为，且椭圆的离心率为，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为 A． B． C． D． 6. ．，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点