第1部分 第4章 微专项6 半角模型(一题一课)（课件PPT）-【鼎成中考·精准提分】2024年河南中考数学精讲册

第一部分　中考考点　精准解读 第四章　三角形 微专项6　半角模型(一题一课) 01 典例精讲 典例精讲 典例　【问题引入】某数学兴趣小组借助三角板进行了以下探究．如图1，把一个含有45°角的三角板放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点A重合． 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 【操作发现】(1)小源将三角板绕点A旋转，使45°角的两边与正方形的边BC，CD分别相交于点M，N，连接MN，如图2.小源发现：MN＝BM＋DN.针对小源的发现，请给出证明． 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 证明：延长ND至点E，使得DE＝BM，连接AE，并标记相关角，如解图1所示． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADE＝90°. ∴△ABM≌△ADE.∴∠1＝∠2，∠3＝∠E，AM＝AE. ∵∠MAN＝45°，∴∠1＋∠4＝45°.∴∠NAE＝∠2＋∠4＝45°. 又∵AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN. ∵EN＝DE＋DN＝BM＋DN，∴MN＝BM＋DN. 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 【温馨提示】作辅助线时可延长CD至点E，使DE＝BM.若作旋转则需要说明三点共线，若作延长则需要证明全等． 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 典例(1)：作辅助线时也可把△ABM旋转到△ADE的位置，此时可直接得到△ABM≌△ADE，但需说明点E，D，N在同一直线上，同理证明△AMN≌△AEN即可得到结论． 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 【变式探究1】(2)小源继续将三角板绕点A旋转，使45°角的两边与正方形的边CB，DC的延长线分别相交于点M，N，连接MN，如图3.小源提出问题：上述结论是否依然成立？请你加以判断，并说明理由． 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 解：不成立．理由如下： 在DC上截取DE＝BM，连接AE，并标记相关角，如解图2所示． ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ADE＝90°，AB＝AD. ∴△ABM≌△ADE(SAS)．∴∠1＝∠2，AM＝AE. ∵∠MAN＝∠1＋∠3＝45°，∴∠2＋∠3＝45°. ∴∠EAN＝90°－(∠2＋∠3)＝45°.∴∠EAN＝∠MAN. 又∵AN＝AN，∴△EAN≌△MAN.∴MN＝EN. 又∵EN＝DN－DE＝DN－BM，∴MN＝DN－BM. 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 【变式探究2】(3)小东经过观察思考，归纳出这个图形的特点是：90°角包含45°角．受此问题启发，她把一个含有45°角的三角板放在等腰直角三角形ABD中，使45°角的顶点始终与△ABD的直角顶点A重合．将三角板绕点A旋转，使45°角的两边与边BD相交于点P，Q，如图4.请你帮小东探究BP，PQ，DQ之间的数量关系． 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 解：将AQ绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接BE，EP，并标记相关角，如解图3所示． 由旋转的性质，可知AE＝AQ. ∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝AD，∠4＝∠5＝45°，∠BAD＝∠EAQ＝90°. ∴∠1＋∠BAQ＝∠2＋∠BAQ＝90°.∴∠1＝∠2. ∴△ABE≌△ADQ(SAS)．∴BE＝DQ，∠4＝∠6＝45°. 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 ∵∠PAQ＝45°，∠BAD＝90°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠PAQ＝45°. ∴∠EAP＝∠1＋∠3＝45°.∴∠EAP＝∠PAQ. 又∵AE＝AQ，AP＝AP，∴△APE≌△APQ(SAS)．∴EP＝PQ. 又∵∠5＝∠6＝45°，∴∠EBP＝∠5＋∠6＝90°. ∴在Rt△BEP中，由勾股定理，得BP2＋BE2＝EP2，即BP2＋DQ2＝PQ2. 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 【变式探究3】(4)小星继续深入研究，提出一个新的问题：如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝2∠EAF，AB＝AD，探究BE，EF，DF之间的数量关系．在探究过程中，小星发现条件不够，请你帮他补上缺少的条件，并完成探究． 微专项6　半角模型(一题一课) 返回目录 解：缺少的条件是：∠B＋∠D＝180°. 将△ADF绕点A旋转至AD与AB重合，得到△ABF′，并标记相关角， 如解图4所示，则△ABF′≌△ADF. ∴AF′＝AF，BF′＝DF，∠1＝∠3，∠F′＝∠7，∠D＝∠8. ∵∠ABE＋∠D＝180°，∴∠ABE＋∠8＝180°，即F′，B，E三点共线． ∵∠BAD＝∠2＋∠EAF＋∠3＝2∠EAF，∴∠2＋∠3＝∠EAF. ∴∠1＋∠2＝∠EAF′＝∠EAF. 又∵AF＝AF′，AE＝AE，∴△AEF≌△AEF′(SAS)． ∴EF＝EF′＝BF′＋BE＝DF＋BE，即EF＝BE＋D