第十三章 轴对称——等腰（等边）三角形 复习讲义 2023—2024学年人教版数学八年级上册

等腰（等边）三角形 1等腰三角形的概念与性质 等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 如右图，在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，∠A叫做顶角，∠B和∠C叫做底角． A B C 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． A B C D 2等腰三角形的判定 判定①：两条边相等三角形是等腰三角形． 判定②：两个角相等的三角形是等腰三角形． 3等边三角形的性质与判定 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 性质：等边三角形的三条边、三个内角都相等，并且每一个角都等于60°（三线合一）． 判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）两个角为60°的三角形是等边三角形； （3）含有60°的等腰三角形是等边三角形． 4含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 例1．（1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__________度． （2）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是__________ 1．已知一等腰三角形的周长是9，若一腰上的中线把周长分成差为3的两部分，求这个等腰三角形三边的长． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则其顶角为　 　． 3．如图，在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，依此进行下去，∠A1A2C的度数为　 　；以An为顶点的锐角的度数为　 　． 例2．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E， ∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，则∠B的度数为 ． 1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A．20° B．120° C．20°或120° D．360° 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小． 例3．【问题情境】 思达老师给爱好学习的小闻和小达提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF． 【变式探究】 如图，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF． 1．如图，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（　　）． A．5 B．7.5 C．9 D．10 2．已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．求证：PD+PE+PF=AH． 例4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，交BC于E，请判断CF与CE相等吗？为什么？ 例5．如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB与点E，交AC于点F． （1）求证：BE+CF=EF； （2）若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不需证明） 1．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，那么下列结论：①BP＝CP；②MN＝BM+CN；③△BMP和△CNP都是等腰三角形；④△AMN的周长等于AB与AC的和，其中正确的有（　　） A．②③④ B．①②③④ C．②③ D．③ 例6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 1．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，以△ABC的一边