第十二章 全等三角形中的动点问题与轴对称复习讲义2023-2024学年人教版数学八年级上册

全等三角形中的动点问题与轴对称（最短路径） 垂直平分线 线段垂直平分线的概念：垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线． 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等． 线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （1）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等； （2）“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上； （3）“如果到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线”的作用是：垂直平分线的判定． （4）看到垂直平分线，常用的辅助线作法是连接垂直平分线上的点与线段端点，得到等腰三角形． 例1．如图，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AD=2BD . （1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动 . ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 1． 一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2y，x+2y，若这两个三角形全等，则x+y的值是　 　． 2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动. （1）试证明：AD∥BC . （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DBG与△BFG全等 . 3．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1）PC=　 　cm．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 例2．如图，△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E， （1）若∠BAE＝30°，求∠C的度数； （2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长． 1. 如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm, ∠A=50º，求△BCE的周长= ；∠EBC= ． 2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE=CF的理由； （2）如果AB=5，AC=3，求AE，BE的长． 3．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE=CF； （2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME． 求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE． 例3．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，求证：AD垂直平分EF． 例4．如图，已知△ABC，作∠BAC的角平分线交于BC于点D（要求尺规作图，不写作法）． 例5．已知△ABC中，AB=AC . （1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D. （用尺规作图，保留作图痕迹） （2）连接BD，若∠A=40°，求∠BDC的度数 . 例6．尺规作图：画一个角等于已知角（如图），要求两角不共顶点． 例7．已知：如图所示，A、B两村庄在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向A、B两村庄供水． （1）若要使厂址到A、B两村的距离相等，厂址应设在哪个位置？ （2）若要使厂址到A、B两村的水管最省料，厂址应设在哪个位置？ A B · · A B · · 1．已知