第十二章 辅助线（全等变换）复习教案 2023-2024学年人教版数学八年级上册

辅助线（全等变换）与综合 常见辅助线的作法有以下几种： 1．遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5．截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和．差．倍．分等类的题目． 6．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 1角平分线作双垂直 ①过角平分线上的点向两边作垂线，得到对称的全等三角形． ②过角平分线的点作角平分线的垂线，得到等腰三角形 2半角模型（旋转补短构造全等） 条件：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等或者有两个角正好互补，通过旋转后拼成一个平角． 结论：（1）EF=BE+DF；（2）C△CEF=2AB；（3）AE平分∠BEF，AF平分∠DFE． 例1．如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E是DC中点． 1．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、CB相交于点C、D． （1）问PC与PD相等吗？试说明理由． （2）若OP＝2，求四边形PCOD的面积． 2．如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD． 3．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，若BD平分∠ABC．求证：CE=BD． 例2．如图，已知在ΔABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AC=AB+BD． 1．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C≠90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，点M恰好在BC上． （1）求证：AM⊥DM； （2）若M是BC的中点，猜想AD、AB、CD之间有何数量关系？请证明你的结论． 2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F （1）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由． 例3．如图，在的正方形ABCD中，∠EBF=45°，证明：EF=AE+CF． 1．如图，在Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论： ①△ADC≌△AFB； ②△ABE≌△ACD； 　③△AED≌△AEF； ④BE+DC＝DE． 其中正确的是（　　） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 2．如图△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 例4．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于F．求证：FD=FE． 1．已知，如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F．求证：DF=EF． 例5．已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________； 1．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF. 求证：AC=B