第十二章 全等三角形_常见全等三角形模型复习讲义 2023—2024学年人教版数学八年级上册

常见全等三角形模型（压轴） 三角形全等的判定方法： 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．   两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．    两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 证明三角形全等的基本思路： 全等三角形中常见的基本模型： 1手拉手模型 ①△ABE和△ACF均为等边三角形 结论：（1）△ABF≌△AEC； （2）∠BOE =60°； （3）OA平分∠EOF ． 拓展图形： 结论：（1）AD=BE ； （2）∠ACB=∠AOB ； （3）△PCQ为等边三角形； （4）PQ∥AE ； （5）AP=BQ ； （6）CO平分∠AOE ； （7）OA=OB+OC； （8）OE=OC+OD． ②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）BE=CD； （2）BE⊥CD ． ③ABEF和ACHD均为正方形 结论：（1）BD⊥CF； （2）BD=CF． 2三垂直模型 由△AEB≌△BDC导出 由△ABE≌△BCD导出 由△ABE≌△ECD导出 AE=CD+DE AB=EC+CD BC=AB+CD 3等腰直角三角形型 定点是斜边中点，BF=AE（AF=CE），动点在两直角边上滚动的旋转全等： 结论： （1）△BDF≌△ADE，△ADF≌△CDE； （2）DE⊥DF； （3）S四边形AFDE=1/2S△ABC． 例1．在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC； （3）AE与DC的夹角为60°； （4）BH平分∠AHC； （5）△ABG≌△DBF； （6）等边△GBF； （7）GF∥AC. 1．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE． （1）说明BD=CE； （2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数； （3）若如图2放置，上面（1），（2）中的结论还成立吗？请简单说明理由． 2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（a，0）（a＞0），点C是y轴上的一个动点，点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边△AOB（此时点P与点B重合）． （1） 点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示）， 求证：△AOC≌△ABP ； （2）若点P在第三象限，BP交x轴于点E，且∠ACO＝20°，求∠PAE的度数和E点的坐标； （3）点C在y轴移动的过程中，若∠APB＝30°，则点P的横坐标为　 　． 例2．如图1，OA＝1，OB＝3，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC． （1）求点C的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰Rt△APQ，过Q作QE⊥x轴于E点，求PO﹣QE的值． 1．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）． A．50 B．62 C．65 D．68 2．直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且． （1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ； （2）如图3，若直线CD经过的