精品解析：四川省成都市武侯高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

武侯高中高2022级2023-2024学年上期半期考试试题 数 学 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 命题人：杜佳怡 审题人：蒋涛 一、单选题： 1. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5 2. 已知，，...，的平均数为10，标准差为2，则，，...，的平均数和标准差分别为（ ） A. 19和2 B. 19和4 C. 19和8 D. 19和16 3. 唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象．已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝（ ） A. 360 B. 270 C. 240 D. 180 4. 如果直线：与直线：平行，那么实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量，不共线，，，，则（ ） A. 与共线 B. 与共线 C ，，，四点不共面 D. ，，，四点共面 6. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（ ） A. B. C. D. 7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则( ) A. ​ B. 2 C. ​ D. ​ 8. 已知 的顶点为是∠BAC的角平分线，则直线 的一个方向向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 二、多选题： 9. 某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ） A. 他只属于音乐小组的概率为 B. 他只属于英语小组的概率为 C. 他属于至少2个小组概率为 D. 他属于不超过2个小组的概率为 10. 下列说法中不正确是（ ） A. 直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大 B. 若两直线平行，则两直线的斜率相等 C. 若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直 D. 过点且斜率为1的直线方程可表示为： 11. 下列命题中是假命题的为（ ） A. 若非零向量与平面平行，则所在直线与平面也平行 B. 若平面的法向量分别为，则 C. 已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则 D. 若两个空间非零向量满足，则 12. 若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的有（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值是 三、填空题： 13. 高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，则该小组12名学生成绩的分位数是______． 14. 已知空间直角坐标系中点，，，则点P到直线的距离为_______ 15. 要使直线不通过第二象限，则的取值范围是_________． 16. 如图，已知在一个二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.则这个二面角的余弦值为______. 四、解答题： 17. 已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． （1）求出点A的坐标； （2）若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. （1）利用空间向量证明； （2）求的长. 19. 甲、乙两位同学参加某知识闯关训练，最后一关只有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为p，乙同学答对每道题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知同一题甲、乙至少一人答对的概率为，两人都答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）试求最后一关甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率． 20. 某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试。已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，····，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（参考数据：） 21. 如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求