5.1.2弧度制（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

教学单元 第五章 三角函数 教学内容 5.1.2弧度制 教学目标 学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 核心素养 1.理解“1弧度的角”的定义，了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系，培养数学抽象的核心素养； 2.掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数，提升数学运算的核心素养； 2.掌握扇形的弧长公式和扇形面积公式，强化数学运算的核心素养。 教学重难点 重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明； 难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。 学情分析 在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度． 【探究1】 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 【探究2】1°的角是如何定义的？ 【探究3】日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值，那么有没有一种更好的方法去表示角呢？ 【探究4】在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？ 【探究5】角度为、的圆心角，半径r=1,2,3时， （1）分别计算相对应的弧长l （2）分别计算对应弧长与半径之比 通过上面的计算，你发现了什么规律？    【答案】角度制的单位有：度、分、秒。 【答案】规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。 【答案】在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度制。 【答案】无关 【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关； ②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关. 通过复习初中所学角的单位及定义，类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 新知讲授 【知识一：弧度的概念、角度与弧度的换算】 弧度的概念 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角. 弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad. 约定： 正角的弧度数为正数， 负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为0. 常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数． ②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数. ③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。 通过思考，进一步巩固弧度制的定义，提高学生分析问题、概括能力。 通过思考，归纳弧度与角度的互化。提高学生分析问题、概括能力。 例4.按照下列要求，把化成弧度： (1)精确值；(2)精确到0.001的近似值. 例5.将3.14 换算成角度(用度数表示，精确到0.001). 解：(1)因为所以 (2)利用计算器可得： 解：利用计算器可得： 通过例题学会角度与弧度的转化，提高学生解决问题的能力。 【知识二：扇形的弧长与面积问题 】 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝，则 例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1)(2)(3) 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. 证明：由公式可得：.下面证明(2)(3). 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是： 将转换为弧度制，得：，于是，. 将代入上式，即得 通过例题总结弧度制下的扇形的弧长公式、扇形的面积公式，提高学生的观察、概括能力 课本练习 3、用弧度表示： （1）终边在x轴的角的集合 （2）终边在y轴的角的集合 4．利用计算工具比较下列各对值的大小： （１）cos0.75°和cos0.75；　 （２）tan1.2°和tan1.2． 5..分别用角度制，弧度制下的弧长公式计算半径