5.5 三角恒等变换（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

5．5 三角恒等变换（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． （2）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． （3）能运用上述公式进行简单的恒等变换． 【过程与方法目标】 （1）能归纳诱导公式的共性，将其中的特殊角推广到任意角，发现和提出两角和与差的三角函数的问题；能利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式． （2）能从公式出发，推导出两角和与差的其他公式，以及二倍角公式等，能用逻辑关系图表示这些公式之间的联系． （3）能根据问题的已知条件选择适当的公式进行三角恒等式的化简、求值或证明． 【情感态度价值观目标】 让学生感受数形结合及转化的思想方法．发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 发现和提出问题是学生的薄弱点．本单元要求归纳诱导公式的共性，提出研究两角和差的三角函数的任务，这是学生遇到的第一个难点．为破解此难点，可以引导学生罗列诱导公式，让学生归纳它们的共性，再将特殊角一般化，提出新的问题． 三角恒等变换与其他的代数化简相比，涉及的元素比较多，比如式子的结构、式子中的角、函数名等．三角公式又比较多，结构变化大，可以正用，还可以逆用，或者变形使用，非常灵活．这些都会导致学生在解决三角恒等变换问题时出现困难．为破解此难点，要通过设计由易到难的题组，引导学生拾级而上．同时，针对待解的题目，要通过问题引导学生进行观察和分析，帮助学生明确条件和结论，找到联系条件和结论所需要的公式． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约3课时 教学重点：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式；两角和与差的三角函数的其他公式及其内在联系． 教学难点：发现两角和（差）的三角函数与圆的旋转对称性间的联系；认识三角恒等变换的特点，并能解决一些简单的三角恒等变换问题． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景1：恒等变换是常见的代数化简方式．三角恒等变换，是在不改变含有三角函数式值的前提下，对式子进行变形，它在证明、求值、化简中有着十分广泛的应用．前面我们学习了同角三角函数关系和诱导公式，它们都是三角恒等变换的重要工具，并且已经应用它们进行过三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现，它们都是终边落在坐标轴上的特殊角与任意角的和（或差）的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系． 问题1：如果将它们一般化能得到哪些新的恒等变换公式呢? 【破解方法】创设情境，提出问题． 环节二、抽象概念，内涵辨析 问题2：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗? 【破解方法】任意角的终边如图所示． 若把扇形绕着点逆时针旋转角，则点分别与点、重合． 根据圆的旋转对称性，与重合，从而． 连接，则有． 根据三角函数定义，可得角的终边与单位圆交点的坐标如下： 根据两点间距离公式，由，可得： 整理得 【归纳新知】两角差的余弦公式： 问题3：根据问题2，我们可以推导任意角与的和（或差）的三角函数的哪些公式? 【破解方法】学生思考，整理得到：关于两角和与差的三角函数，还需要推导公式． 学生在对比与之后，容易形成两种思路：一是依据加法与减法的联系，将变形为，再利用公式推导即可；二是依据特殊与一般的关系，将公式中的替换为，化简即可．先由学生独立思考并完成，最后教师再予以完善． 因为，由公式，有 问题4：类比上述过程，请你推导， 【破解方法】由学生自主完成的推导． 【归纳新知】两角和与差的正切公式，分别简记为．即有 问题5：你能推导出，的公式吗? 【破解方法】学生独立完成得到． 【归纳新知】 二倍角的正弦、余弦、正切公式 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 【例1】求下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1）原式． （2）原式． 【对点训练1】求下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1）． （2） ． 题型二：两角和与差的正切公式 【例2】已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1）原式． （2）原式． 【对点训练2】化简求值 （1）tan 10°tan 20°＋ （tan 10°＋tan 20°）． （2）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°． 【解析】（1） （2） ． 题型三：二倍角公式的简单应用 【例3】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解析】（1）由题意可得：． （2）由题意可得：． （3）由题意可得：． （4）由题意可得：． （5）由题意可得：． （6）由题意可得：． 【对点训练3】求下列各式的值．