专题02 累加法、累乘法、递推法与倒数法压轴题（ 四类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选必第二册）

专题2 累加法、累乘法、递推法与倒数法压轴题（解析版） 数列经常需要考量前一项与后一项的关系，最简单的形式有与，可以有其他更多不同的形式，如与，与，……等等。需要准备以下三个要点： 一、数列主要涉及基本运算中等互逆运算的转化， 1) 如等差数列（定值），计算通项公式时用加法，； 2) 如等比数列（定值），用乘法，； 3) 而两项相减为变量，用加法，称为累加法； 4) 两项相除为变量，用乘法，称为累乘法； 5) ，两项相加为变量，用减法，写出另一个式子，，两式作差，得到隔项的关系； 6) ，两项相乘为变量，用除法，写出另一个式子，，两式相除，得到隔项的关系。 二、等差、等比数列是基础，其他形式的式子只要能转化为等差或等比的形式，有模块化思想，用上等差等比的公式，从而轻松解题。这里有一些模型需要记一下。 1) 递推公式法1：形如，构造为等比数列，公比，则 2) 递推公式法2：形如，左右两边同时除以，得，将看成一个整体，若时，为等差数列；若时，用递推公式法1； 3) 递推公式法3：形如，构造为等比数列，公比，用待字系数法求出与，推导 形如：形如，构造为等比数列，方法一致。 4) 递推公式法4：形如，构造为等比数列，公比，用待字系数法求出与，推导 ，求解方程组即可。 5) 倒数法：形如，分子分母同时含有，分子只有单项式，分母复杂一点，为多项式，等式左右两边同时取倒数，得，将看成一个整体，若时，为等差数列；若时，再用递推公式法1； 6) 递推公式法5：形如，构造数列，令．先求出数列的不动点，解得，将不动点代入递推公式，得，令，再用倒数法和递推公式法1可求出。 三、数列前项和求和公式。 等差数列； 等比数列 分组求和法、错位相减法和裂项相消法等。 题型一 累加法 例题一 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．(多选)已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D． 3．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为. (1)求的值； (2)求证：，其中； (3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率. 4．数列 的前n项和，已知，，k为常数. (1)求常数k和数列的通项公式； (2)数列 的前n项和为，证明： 练习题 1．小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第 层住宅. （参考公式及数据：，，，） 2．已知等差数列的公差为2，且成等比数列． (1)求数列的前项和； (2)若数列的首项，求数列的通项公式． 3．已知数列的前项和为，且满足，若，则 ；若使不等式成立的最大整数为10，则的取值范围是 ． 4．，为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为 ． 题型二 累乘法 例二 1．定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，，则（    ） A．1763 B．1935 C．2125 D．2303 2．已知数列中，，，且. （1）求，的值； （2）设，求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和. 3．已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且. (1)若，求的值； (2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和. 4．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表： 性别 速度 合计 快 慢 男生 65 女生 55 合计 110 200 (1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？ (2)现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束. （i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望； （ii）求证：这n根