4.4数学归纳法同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．数列满足，下列说法正确的是（    ） A．若，则是递减数列，，使得时， B．若，则是递增数列，，使得时， C．若，则是递减数列，，使得时， D．若，则是递增数列，，使得时， 2．用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 3．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 4．在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 5．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 7．某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 8．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列的首项为，且满足，则以下说法正确的是（    ） A．数列的最大项为2 B．数列没有最小项 C．数列是递减数列 D．，都有 10．数列满足（且），则（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则 11．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 12．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数㩆乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（    ） A．当时， B．当时， C．当为奇数时， D．当为偶数时，是递增数列 三、填空题 13．用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 14．用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是 15．若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测 ． 16．设数列的前n项和为，且对任意的正整数n都有，则 ；进一步通过计算求得，，猜想 . 四、解答题 17．对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”. (1)设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论； (2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式； (3)已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是. 18．数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 19．已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 20．设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 21．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 22．设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由，得到，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 当时，则，，设，则，所以是递减数列，当，，故A错误； 当时，，，又，所以，设，则，即，又因为，所以，所以，，故B正确； 当时，，，所以是递减数列，当时，，故不存在，使得时，恒成立，故C错误； 当时，则，，设，则，所以是递增数列，当，，故D错误； 故选：B 2．D 【分析】根据归纳法即可得到答案. 【详解】解：根据数学归纳法可知： 当时， 当时， 相比从到，可知多增加的项为 故选：D 3．B 【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式．