3.4 实际问题与一元一次方程（讲+练，13大题型）-【划重点】2023-2024学年七年级数学上册同步讲与练（人教版）

3.4 实际问题与一元一次方程 1. 了解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型 2. 掌握列方程解实际问题的一般步骤:审、设、列、解、检、答 3. 掌握行程问题、调配问题、工程问题、等积变形问题、利率问题等的基本数量关系,会列一元一次方程解简单的实际问题.(应用意识) 4. 会用列表法、图示法等方法分析题目中的数量关系.(几何直观) 知识点一 列方程解实际问题的一般步骤 1.审题:分析题意，找出题中的数量及其关系,尤是等量关系(即相等关系). 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示(例如x）. 补充：①设元通常求什么设什么，即直接设元,如果这样设元方程不容易列出来,再考虑间接设元.②在一道应用题中,往往含有几个未知的量,应恰当地选择其中的一个设为未知数,再将其他未知的量用含x的代数式表示出来. 3.列方程：根据等量关系列出方程. 4.解方程:求出未知数的值. 5.检验:检查求得的值是否正确，是否符合实际情形并写出答案(包括单位名称) 6.答：作答. 注意： 同学们，请记住我们在列方程解实际问题还应注意以下几点： (1) 设未知数和写答案时，单位要写清楚.列方程时,方程两边所表示的量应该相同，并且各项的单位应该一致. (2) 在找等量关系时，对题目中所给出的条件应充分利用,但不把同一条件重复利用，否则会得到一个恒等式,无法求出对应的解 (3) 对于求得的方程的解,要先看它是否符合实际意义,然后才能确定应用题的解 即学即练1（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）通乡商店新进某种衬衫，以利润率标价，逢店庆八折出售，仍可获利20元，则该衬衫进价为（    ） A．80元 B．100元 C．120元 D．150元 即学即练2（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时千米，则下列方程正确是（    ） A． B． C． D． 知识点二 如何找相等关系 方法一：分析问题中的不变量，并利用不变量列方程 方法二：用不同的方式表示同一个量,由此得到相等关系，从而列出方程 方法三：从问题的基本量中寻找相等关系 方法四：利用“总量等于各个分量之和”列方程 注意： 同学们请注意有的时候如果单位不统一，一定要把单位统一，这是一个易错点.如果题目出现明显的“是比关系”，我们一般把“是”和“比”后面的数量作为未知数，“是”和“比”当做“＝”，构造等量关系，你会发现寻找等量关系如此简单！如果遇到古典应用题，往往题干后半部分就是翻译，重点从翻译处审题. 即学即练1（2023上·江西吉安·七年级统考期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 即学即练2（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）十年前A的年龄是B的年龄的4倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是（    ） A．20岁 B．24岁 C．30岁 D．15岁 知识点三 常见题型和等量关系 常见题型 列方程的理论依据 行程问题 路程=速度×时间 顺风速度=静水速度＋水流速度 逆风速度=静水速度－水流速度 平均增长率(降低率)问题 为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式:(为平均增长率) 平均降低率公式:(为平均降低率) 销售利润问题 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式 存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数 数字问题 两位整数＝十位数字×10＋个位数字; 三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 工程问题 一般情况把工作总量设为单位“1” 当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 工作效率×工作时间＝工作总量 动态几何问题 运用几何知识以及行程公式， 一般采用间接设元的方法 即学即练1（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）在一次美化校园活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，支援拔草和支援植树的分别有多少人?若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 即学即练2（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）某校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了