4.5.1 函数的零点与方程的解（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解 第四章 指数函数与对数函数 复习引入 在“函数的应用(一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法. 在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 新知探索 问题1：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 的零点是. 的根是 的解集为， 的解集为. 新知探索 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.【注：函数的零点是一个实数，不是一个点】 这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数 的图象与轴的公共点的横坐标.所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点 新知探索 由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点.一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解. 下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手. 活动1：对于二次函数,观察它的图象，发现它在区间上有零点.这时，函数图象与轴有什么关系？在区间上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数的取值来刻画这种关系？ 新知探索 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴.函数在端点和的取值异号，即，函数在区间内有零点，它是方程的一个根. 同样地，，函数在区间内有零点，它是方程的一个根. 新知探索 活动2：再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与轴的关系，并探究用的取值来刻画这种关系的方法. 观察图象发现，，函数在区间内有零点，它是方程的一个根.【注：这里零点所在区间选定的是】 新知探索 观察图象发现，，函数在区间内有零点，它是方程的一个根.【注：这里零点所在区间选定的是】 新知探索 一般地，我们有： 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 例析 例1.求方程的实数解的个数. 解法一：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表，并画出图象. … … 1 -4 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094 6 7.7918 7 9.9459 8 12.0794 9 14.1972 例析 由表和图可知，，，则.由函数的零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点. 容易证明，函数是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解. 例1.求方程的实数解的个数. 例析 解法二：∵，∴ 即当的解就是方程的解. 令.而要求 的解就是要看 的图象有几个交点.由图知， 两函数图象有一个交点，即原方程有一个解. 练习 题型一：求函数的零点 例1.函数的零点是（ ）. 答案：因为时， 所以函数的零点是.故选D. 练习 方法技巧： 函数的零点是函数值为零时自变量的取值，故直接令函数值为零，解出此时自变量的值即可. 练习 变1.函数的零点有______个. 答案：因为时，或 所以或或 即函数的零点有3个. 练习 题型二：判断零点所在的区间 例2.函数的零点所在区间是（ ）. 答案：∵ ， ， ∴在内有零点. 故选B. 练习 方法技巧： 确定函数零点所在区间的常用方法 解方 程法 当对应方程易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间内 零点存在定理 首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若有，则函数在区间内必有零点 数形结合法 通过画函数图象与轴在给定区间上是否有交点来判断 练习 变2.二次函数的部分对应值如下表： 不求的值，判断方程的两根所