第五章 函数的概念、性质及应用（7大知识归纳+10大题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第一册）

第五章 函数的概念、性质及应用 （知识归纳+题型突破） 一、 函数的概念与表示 1、定义 设 是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，使对集合 中的任意给定的，都有唯一的实数与之对应，就称这个对应关系为集合上的一个函数(function)，记作 其中： 叫做自变量(independent variable)，其取值范围（数集）称为该函数的定义域(domain). 由对应关系所确定的对应于的值，称为函数在处的函数值，记作. 所有函数值组成的集合称为这个函数的值域(range). 2、相等函数 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等. 注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？ （不一定.如果函数和,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数，看两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系） 3、函数的表示 二、 函数的定义域 1、函数的定义域 函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义。 2、确定函数定义域的方法 ①分母不为零：； ②偶次根式的被开方数非负：； ③对数中，底数大于且不为，真数部分大于0：； ④0次幂与负次幂底数不为0：； ⑤实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义； ⑥求抽象函数的定义域的时候，注意定义域指的是自变量的取值范围，注意等量关系是括号内的取值范围保持恒等不变. 三、函数的运算 一般地，已知两个函数，，设，并且，那么当时，与都有意义，于是把函数叫做函数与的和； 类似于求两个函数的和，我们也可以求两个函数的积，同样考虑两函数的公共定义域后，可以定义两个函数的积； 四、函数的奇偶性 1、定义 一般地，如果对于函数的定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数；如果对于函数的定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数. 如果函数是偶函数，那么的图像关于轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数； 如果函数是奇函数，那么的图像关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数； 由上可知，函数定义域关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件； 2、奇偶性分类： ① 奇函数；② 偶函数；③ 既是奇函数又是偶函数；④ 非奇非偶函数； 3、奇偶性常用性质结论 ① 奇函数在处有意义； ② 奇函数关于原点对称；偶函数关于轴对称； ③ 对于多项式函数； 若是奇函数偶次项的系数全为零； 若是偶函数奇次项的系数全为零； ④ 为奇函数； 为偶函数； ⑤ 为奇函数； 为偶函数； ⑥ 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和； 即：； 4、复合函数奇偶性 ① 对于，同奇则奇，有偶则偶； 5、函数运算得到的函数的奇偶性 ① 奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇； 6、常见的奇偶函数模型 （1）常见的奇函数模型： 奇次幂函数及其线性组合：； 定义域关于原点对称，函数是奇函数； 指数复合：； 对数复合：，； ； （2）常见的偶函数模型： 偶次幂函数及其线性组合： ； 定义域关于原点对称，函数是偶函数； 自变量加绝对值：； 指数复合： ； 五、函数的单调性 1、定义 对于定义在 上的函数，设区间是的一个子集，对于区间I上的任意给定的两个自变量的值当时，如果总有就称函数在区间I上是增函数；而如果总有，就称函数在区间I上是减函数. 特别地，如果总有 ，就称函数在区间I上是严格增函数；而如果总有，就称函数在区间I上是严格减函数. 如果函数在某个区间上是增（减）函数，那么说函数在区间上是单调函数，区间叫做函数的单调区间； 2、定义法证明单调性步骤 ① 在给定上任取；② 作差；③ 变形判断符号；④得出结论. 3、单调性的其它等价形式 ①对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减. ②对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减. ③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有 恒成立，则在定义域内递增； 恒成立，则在定义域内递减. 4、复合函数单调性 ① 同增异减： 设在区间上，的值域为， 若在区间上的单调性和在区间上的单调性相同，则复合函数是严格增函数； 若在区间上的单调性和在区间上的单调性不同，则复合函数是严格减函数； ② 增＋增＝增；减＋减＝减；增－