向量综合-4.几何法（二）向量与圆、极化恒等式讲义-2024届高三数学一轮复习

向量综合（4） 向量，作为高中数学的一个内容模块，是每年高考试卷中不可或缺的部分。对于大部分地区，向量往往以简单题的形式出现；但近年来，尤其是浙江地区，向量已逐渐占据了压轴小题的位置，其难度不容小觑。本节难度较大，需要同学们有着扎实的基础知识。 解决向量题主要有着三大方法：基底法、坐标法（建系法）、几何法。我们对三种方法附以相应的例题，其中的几何法是我们的讲解重点，希望同学们仔细体会理解。 【总览】 第一章 基底法 1 第一节 向量的拆分 1 第二节 基底法的运用 5 第二章 坐标法 9 第三章 几何法 12 第一节 向量的减法 12 第二节 向量与相似三角形 14 第三节 向量与垂直 17 第四节 数量积与投影 21 第五节 三点共线定理及其运用 24 第六节 向量与圆（本节） 28 第七节 极化恒等式（本节） 43 第六节 向量与圆 【建议课时】3 圆可以说是向量题的宠儿，很多复杂的条件、点的轨迹最终都指向了圆的模型，本节也是我们将重点讲述的内容。 我们先来回顾一下哪些情况下会出现圆： ①若动点到一定点的距离为一个定值，则动点的轨迹为一个圆； ②直径所对的圆周角为直角，若动点与线段两端点之间所成角为90°，则该动点轨迹为一个圆； ③四边形的两对角互补时，该四边形的四个顶点位于同一个圆上，即“四点共圆” ④圆的弦长、圆心角、圆周角是对应的，在三角形中，若定边的对角为定值，则该顶点也位于一个圆上，即三角形的外接圆。 ⑤阿波罗尼斯圆：若动点到两定点之间的距离之比为一个常数，则该动点的轨迹为一个圆。 在复杂的向量题目中，涉及到圆的知识无非就是以上五种，五种模型我们都分别有对应例题进行阐述，帮助同学们理解向量与圆的关系。 【例一】已知，。若，则的取值范围是 . [解答]设，，， 由于，不难看出 因此可以看出点C在以D为圆心，半径为1的圆上， 即表示OC线段的长，而圆上一点到圆外一点距离的最值为：圆心到该点的距离半径 ，，则的取值范围是[1，3] ★这道题用到了第一种模型，动点到定点的距离为一个定值。很多时候，这种类型的题目都可以通过向量的减法来进行转换。这道题的条件由于已经是减法，能够直接得到一条直观的线段，因此符合了圆的定义。在很多题目中，向量的减法需要我们自己的构造，我们看一下下面的变式题。 【变式一】均为单位向量，且它们的夹角为45°，设满足， 则的最小值为 . [解答]构造向量的减法，即 设，，，， ， 由此我们可以看出A点在以M点为圆心，为半径的圆上， 但对于，作直线，而即为直线上的向量，因此B点位于直线上 ，表示圆上一点A到直线上一点B之间的距离 圆上一点到直线距离的最小值为：圆心到直线的距离剪去半径 M点坐标为，直线的方程为 因此 ★这道题需要我们自己构造向量的减法，才能得出A点的轨迹。对于，若不作出变换，即使我们通过平行四边形作出合向量，其几何意义仍然不明确，而当我们变换成后，其几何意义就清晰了。这也就是我们第一节所说的向量的减法相比于加法而言，能让我们得到一条直观的线段。但这道题的我们没有强行地转换成减法，原因是从中我们就已经能够看出B点位于直线上这一几何意义。 【变式二】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)．动点D满足.则的取值范围是(　　) A．[，＋1] B．[－1，＋1] C．[－1，] D．[1，＋1] [解答]在第二章的坐标法中，我们用纯粹的代数运算得出答案，现在我们试试纯粹的几何法 ，因此点D在以C为圆心，1为半径的圆上， 设， ， 表示F点到圆上D点之间的距离，因此最值为： ， 则的取值范围是[－1，＋1] 【变式三】已知，向量满足，则的最大值为　 　． [解析]设，，， 通过上面例题的讲解，不难看出，的终点C是以D为圆心，为半径的圆 表示圆上动点C到定点O之间的距离，其最大值即为圆心到定点的距离+半径 即，现问题转换为求出的最大值 采用几何的思想，OABD构成了一个菱形，而，恰好是菱形的两条对角线，菱形的对角线相互垂直，设交线为P 设，则 对角线 ，最大值为 因此 本题比较经典，大多数同学可能都做过。此题也可以通过不等式求解，在这里不作分析。 【例二】已知向量满足且，则的最大值为　 　． [分析]这是我们圆的第二种模型，即直径所对的圆周角为直角。 [解答]，即间夹角为60° 设，，， 由，即，因此点C位于以AB为直径的圆上，设圆心为M ，表示圆上动点C到圆外定点D之间的距离 最大值即为，圆心到定点间的距离 + 半径， ，， 所以 【变式一】已知向量满足，，且 ，，则的最大值是　　． [解答]设，，，， ，即间夹角为60°， ，则D点位于以AB为直径的圆上，半径为1 ，则E点位于以AC为直径的圆