向量综合-3.几何法（一）向量的运算与几何关系讲义-2024届高三数学一轮复习

向量综合（3） 向量，作为高中数学的一个内容模块，是每年高考试卷中不可或缺的部分。对于大部分地区，向量往往以简单题的形式出现；但近年来，尤其是浙江地区，向量已逐渐占据了压轴小题的位置，其难度不容小觑。本节难度较大，需要同学们有着扎实的基础知识。 解决向量题主要有着三大方法：基底法、坐标法（建系法）、几何法。我们对三种方法附以相应的例题，其中的几何法是我们的讲解重点，希望同学们仔细体会理解。 【总览】 第一章 基底法 1 第一节 向量的拆分 1 第二节 基底法的运用 5 第二章 坐标法 9 第三章 几何法 12 第一节 向量的减法（本节） 12 第二节 向量与相似三角形（本节） 14 第三节 向量与垂直（本节） 17 第四节 数量积与投影（本节） 21 第五节 三点共线定理及其运用（本节） 24 第六节 向量与圆 28 第七节 极化恒等式 43 第三章 几何法 【建议课时】3 近年来，高难度的向量题往往只能由几何法得出解答，对同学们的综合分析能力有着极大的挑战。压轴向量题让人茫然无措是很正常的事情，走投无路的情况下，很多人选择建系，但发现即使是复杂的代数运算也不能求解。我们在这里详细的列出考试常用的几种模型，帮助同学们找到几何分析的思路。本章也将是我们花大篇幅重点讲解的内容。 第一节 向量的减法 向量的减法比起向量的加法来说，有着更加丰富的几何内涵。在加法法则中，合向量为平行四边形的对角线，但其几何意义常不具有特征性；而向量的减法法则中，，即表示三角形的第三条边，也表示着A、B两点之间的距离，是一条更为直观的线段。别小看这一几何意义，在很多题目中都充满着深刻的内涵。 【例一】已知单位向量，满足，向量满足，则的取值范围是　　 ． [解答]设、、， ★C点为动点，而A、D两点为定点，动点到两定点的距离之和为一个定值，同学们可能联想到椭圆。但需要注意是，椭圆的定义中，该定值必须大于这两定点之间的距离。而在这道题中，恰好就是定点A、D之间的距离，因此C点的轨迹为线段AD ★对于，若我们不作变换，根据加法的平行四边形法则作出的合向量没有特征的几何意义，但我们可以构造出向量的减法， 即，若设，则，表示线段AD上动点C到定点E之间的距离 直线AB为 最小值即为E到直线AD间的距离， 最大值为ED = 故的取值范围为： 【例二】已知单位向量，且，，则的最小值为 .A B D E C O [解答一]设、、 ，表示以A为起点，长度为AB的t倍的向量，，表示以B为起点，但长度为AB的1-t倍的向量，上述这两个向量的终点其实是同一个，设为C点， 即， 对于，我们想办法构造出向量的减法，但要先保证其起点相同，因此 长度为，将平移至原点，并设，则 最终我们完成了转换，原式 = +，表示线段AB上动点到定点O与E的距离之和 这是“两个村庄一条河”的经典问题，即作出O关于直线AB的对称点 则+最小值为 ★本题的变换较多但都是有理可寻的，我们首先是分析以及的几何意义，得出后，我们便开始运用构造向量减法的思想，但要构造减法，必须满足起点相同，因此这一步就是自然而然的了。 确实难以理解几何法的同学，我们也给出了坐标法的解答，可供同学们参考。 [解答二]设，，则， 所以， 则 其几何意义为动点P（t，t）到两定点C（1，0）与D（1，）距离的和， 点D关于直线y＝x的对称点为G（，1）， 其最小值为|GC|＝＝．故答案为：． ★我们发现，运用坐标法，最终转换出的模型与我们用几何法是相同的。同学们可自由权衡使用的方法，但我们在几何法中运用的思想是需要大家体会的。 ★★【总结】构建向量的减法，其本质是将动点（直线上动点、圆上动点等）与定点之间的关系联系起来！在例一与例二中，C点都为直线上动点，我们转换时，都主要是把C点与一个定点之间联系起来。 在几何法的后几节中，构造向量减法的思想还会重新运用。由于考察知识点较多，涉及到三点共线以及圆知识的题目没有在此节列出，将在后几节中继续讲解。但有些时候，即使构建了减法，也很难将动点与定点之间的关系联系起来，我们将在向量与相似三角形中讲解。 第二节 向量与相似三角形 在上节的向量减法中，最终的模型都是转换成了动点与定点之间的距离。但有时，某些线段存在倍数，导致其与定点的关系不再紧密，这时我们通过构造相似三角形，能在图形中找到新的定点与动点发生联系。 【例一】是平面内两个互相垂直的单位向量，若满足，则的最小值为　 　． [解答]设、、、 ，则点C在以A为圆心，半径为的圆上， 在图形中我们可以发现，CD是一条直观的线段，但2CB让问题非常棘手，因为2CB并不是动点到一个定点的距离。 这时我们有两种转换的思路，一种是想办法把2CB转换成C点到另一个定点的距离；另一种是把CD转换成2倍的C到另一个动点的距