向量综合-2.坐标法讲义-2024届高三数学一轮复习

向量综合（2） 向量，作为高中数学的一个内容模块，是每年高考试卷中不可或缺的部分。对于大部分地区，向量往往以简单题的形式出现；但近年来，尤其是浙江地区，向量已逐渐占据了压轴小题的位置，其难度不容小觑。本节难度较大，需要同学们有着扎实的基础知识。 解决向量题主要有着三大方法：基底法、坐标法（建系法）、几何法。我们对三种方法附以相应的例题，其中的几何法是我们的讲解重点，希望同学们仔细体会理解。 【总览】 第一章 基底法 1 第一节 向量的拆分 1 第二节 基底法的运用 5 第二章 坐标法（本节） 9 第三章 几何法 12 第一节 向量的减法 12 第二节 向量与相似三角形 14 第三节 向量与垂直 17 第四节 数量积与投影 21 第五节 三点共线定理及其运用 24 第六节 向量与圆 28 第七节 极化恒等式 43 第2章 坐标法 【建议课时】1 坐标法（建系法）在解决某些取值范围问题时有着很大的优势，通过建系将其转换为函数问题，虽然加大了计算量，但减少了思维量。在几何意义不明，没有其他思路时，建系也可能是同学们的唯一思路。 常常使用建系方法的场景主要有两种： ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、菱形的对角线等等， ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等 在大多数题目中，坐标法能占据一席之地，能解决大多数问题，但近年来的压轴向量题中，坐标法的应用越来越局限，而更多地开始考察几何法的运用。坐标法一般没有思维上的难度，转化为函数问题后就考察同学们的函数知识，因此坐标法我们在此不作详细阐述，只列出例题供同学们体会其应用。 【例一】已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且 ，当t变化时，的最大值等于　 　． [分析]此题由于，出现垂直因此能够想到建系。难点在于这个条件很多同学不知所措，其实是典型的单位向量的写法，表示长度为1，方向与相同的向量，因此本题得出P点坐标为（1，1）是一个关键步骤。 [解答]以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设B（，0），C（0，t）， ∵P点是△ABC所在平面内一点，且， ∴＝（1，0）+（0，1）＝（1，1），即P（1，1）， ∴＝（﹣1，﹣1），＝（﹣1，t﹣1）， ∴•＝﹣+1﹣t+1＝2﹣（+t）， ∵+t≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1时，取等号． ∴•的最大值等于0， 【变式】已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（　　） A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣，﹣] D．[﹣，﹣] [分析]本题运用基底法与坐标法皆可。但如果用基底法的话，可设，然后将表示出来，然后，虽然思路也很简单但计算量反而比坐标法更大，由于这是一个等边三角形，出现了60°的特殊角，我们用坐标法更加方便。 ★技巧：在建系时，我们最好根据等边三角形的高来构建，而不以三角形顶点为原点来建。我们建系的原则就是：①使尽量多的点落在坐标轴上；②尽量在图形的对称轴上建系。 [解答]，设， ∴， ∴＝，且， ∴时，取最小值；时，取最大值， ∴的取值范围是．故选：A． 【例二】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)．动点D满足。则的取值范围是(　　) A.[，＋1] B.[－1，＋1] C.[－1，] D.[1，＋1] [分析]是一个很重要的条件，由于C为定点，D为动点，动点到定点的距离为一个定值，符合圆的定义。因此可根据圆的参数方程（或三角换元）设出点D的坐标。 [解答]D在圆上，可设D点坐标为 则 则 由于 则，即[－1，＋1] ★本题用几何法能够更快求解，在第三章几何法的第四节中我们还会举出这道例题。 【变式】已知腰长为2的等腰直角△ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若，则的最小值为（　　） A．24﹣16 B．24+16 C．48﹣32 D．48+32 [解答]以两直角边为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 易知，A（0，2），B（2，0），M（1，1）， 点P在以原点C为圆心，2为半径的圆上，其所在的轨迹方程为x2+y2＝4， 设P（2cosθ，2sinθ），则，， ∴，， 设， ∴（•+4）•（•）＝（﹣4t+8）（﹣2t+4）＝8（t﹣2）2， 令，显然，当时，目标函数取得最小值．故选：C． 【例三】如图，AD，BE分别为△ABC的中线和角平分线，点P是AD与BE的交点，若BC＝2BA＝2，，则△ABC的面积为　　 ． [分析]，本题关键在于求出AB与BC的夹角。有些可能想到用基底法，但由于P点的确切位置不明，不知道P点分割AD或BE的比例，很难进行转换。这道题虽然没有特殊角，但也可以通过建系求解。 [解答]由BC＝2BA