向量综合-1.基底法讲义-2024届高三数学一轮复习

向量综合（1） 向量，作为高中数学的一个内容模块，是每年高考试卷中不可或缺的部分。对于大部分地区，向量往往以简单题的形式出现；但近年来，尤其是浙江地区，向量已逐渐占据了压轴小题的位置，其难度不容小觑。本节难度较大，需要同学们有着扎实的基础知识。 解决向量题主要有着三大方法：基底法、坐标法（建系法）、几何法。我们对三种方法附以相应的例题，其中的几何法是我们的讲解重点，希望同学们仔细体会理解。 【总览】 第一章 基底法（本节） 1 第一节 向量的拆分 1 第二节 基底法的运用 5 第二章 坐标法 9 第三章 几何法 12 第一节 向量的减法 12 第二节 向量与相似三角形 14 第三节 向量与垂直 17 第四节 数量积与投影 21 第五节 三点共线定理及其运用 24 第六节 向量与圆 28 第七节 极化恒等式 43 第1章 基底法 【建议课时】2 我们知道，在平面内选取任意两个不共线的向量后，该平面内的所有向量都可以用这两个向量来表示。我们把这两个不共线的向量称为基底。向量题中，图形复杂、向量繁多，而基底法的思路就是选取合适的基底后，将题目中所出现的向量全部转换为基底表示，目的是减少向量的数量，利于我们的分析计算。 基底法运用的主要难点有二：一是基底的选取，二是向量的拆分。本章分两小节，第一小节主要讲述向量拆分中的技巧；第二小节主要讲述基底选取的技巧，才能有目标地进行向量的拆分。 第一节 向量的拆分 向量的拆分考察的是向量的线性运算，即向量的加法、减法、数乘运算。 向量的加法有两种运算法则，当两向量起点相同时有平行四边形法则，当两向量首尾相接时有三角形法则。在实际进行向量的拆分时，后一种法则常常使用，如 向量的减法只有三角形法则，且必须要求两向量起点相同。这也是在拆分向量中常常用到的技巧，如 向量的数乘运算即将向量进行延长、缩短，当所乘的实数为负数时，还会使向量反向。这也是我们拆分向量时常常使用到的步骤。 向量的拆分变化十分灵活，常根据题目的不同有着万千变化。同学们在拆解向量时往往茫然无措、漫无目的地进行拆解，导致运算速度明显下降。本节将重点讲解向量拆分中的技巧，帮助同学们快速完成拆分。 【例一】在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，若点P满足，则＝　 　． [解答]本题用基底法可以快速求解，由于题目中的条件都是关于AB、AC，我们自然地想到将与全部转换为用、表示 ， 故答案为：4． ★本题比较浪费时间的步骤在于将转换为，对于喜欢用几何方法的同学来说，转换速度可以更快。这里我们引入三点共线定理的第一个应用，根据三点共线定理，由于B、P、C三点共线，则在中，有。通过作平行线PM、PN，则，再根据相似三角形的相似比为（），我们可以确定，则，那么就一定等于，因此 其实以上就是[线段的定比分点]的应用：对于线段BC，若已知P点分割BC的比例，就能写出。例如，若，则，整理后即为 定比分点公式没有记忆的必要，在具体题目中，我们通过作平行线，结合相似三角形，也能快速得出答案。同学们可能也会有自己的做法，但注意简单的验算，即与相加起来一定等于1，也就是三点共线定理中的。 三点共线定理，如果运用得巧妙常常能简化向量拆分的过程，在这里我们是通过发现相似三角形的几何关系快速完成向量的拆分，在下面例二中，我们将讲述该定理的第二个应用。在第三章几何法中，我们还会讲解涉及该定理的复杂题目。 【例二】如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为　 　． [解答]本题也是基底法的运用，不难看出应该选取与作为我们的基底。我们在做题过程中，不可避免地会涉及到与，因此首先要将这两个向量转换成基底的表示 由题意， ， 由于E，F，G三点共线，可设 则 又，根据向量相等的原则： ，解得：λ＝，m＝， 故答案为：． ★在这道题中，我们引出了三点共线定理在拆分向量的第二个运用。根据E、G、F三点共线，假设。在我们设出后，若没有第二个方程，是不能解出其中的的，而这时题目中给出了这个条件，若是将式子中的与转换成用与表示，我们就可以根据向量相等的原则，列出一个二元一次方程，解出其中的与。 也就是说，如果我们通过三点共线定理直接设时，我们就必须想办法再构造第二个式子，这样子才能形成二元一次方程解出两个未知数。而在这道例题中，第二个式子其实就是题目中的条件。我们再看一下下面的变式题，同学们就加深理解了。 【变式一】如图，在△ABC中，AB＝，AC＝2，，E为AC的中点，AD与BE交于点F，G为EF的中点．＝ 。 [分析]这道题的关键就是把与转换成基底来表示，而在这两个向量中，则更加重要，因为，而，因此一旦我们表示出了，则就迎刃而解。现在我们通过类似于例二的方式，来解决向量的拆分。 [解答]由于A、F、D三点共线，我们可以