第26章 反比例函数 小结与复习 2022--2023学年人教版九年级数学下册

九年级数学下分层优化堂堂清 第26章 反比例函数 本章小结与复习 一、思维导图 2、 知识要点： (一).反比例函数的概念： （1）定义：一般地，函数(k是常数，k≠0)叫做反比例函数； （2）变形：反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1或xy=k(k≠0)的形式； （3）自变量x的取值范围：x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数 (二).反比例函数的图象： （1）反比例函数的图像是双曲线； 它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限； 它们关于原点对称； （2）反比例函数关于直线y=x和y=-x成轴对称；（对称中心：原点） （3）由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 (三).反比例函数的性质： k值 k＞0 k＜0 图像 象限 两个分支分别在第一、三象限 两个分支分别在第二、四象限 性质 每个象限内，y随x的增大而减小 每个象限内，随x的增大而增大 （1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数k决定； （2）反比例函数图象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时，应注意象限问题。 (四).反比例函数中反比例系数的几何意义 （1）如下图，过反比例函数(k≠0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN， 则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|； ∵，∴xy=k，SPMON=|k| （2）|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 (五).常见的与反比例函数有关的图形面积： (六.)反比例函数的解析式的确定： (1)待定系数法 由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． (2)求反比例函数表达式的一般步骤： （1）设出函数的一般形式； （2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于k的方程； （3）解方程，求得k的值； （4）将所求得的k的值代入到函数表达式中。 (七).反比例函数的实际应用 (1).反比例函数应用问题的求解思路： 建立反比例函数模型→求出反比例函数解析式→结合函数解析式、性质做出解答。 (2).利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型： 建立函数模型的思路主要有两种： ①已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得k的值； ②题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式。 3、 高频考点 【考点1】 反比例函数的定义 【例1-1】函数y＝是反比例函数，则m＝　　． 【例1-2】已知是反比例函数，那么k的值是　 　． 【考点2】 反比例函数的图象 【例2-1】如图，反比例函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【例2-2】若反比例函数的图象在二､四象限,则m的取值范围是_______． 【答案】 【考点3】 反比例函数图像的性质 【例3-1】如图为反比例函数y，y，y在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k1＞k2 D．k3＞k2＞k1 【例3-2】已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y2y3＞0 B．若x1x3＞0，则y2y3＜0 C．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0 【例3-3】己知函数为反比例函数． （1） 求k的值，并判断点A(－2, )是否在该反比例函数的图像上； （2）该反比例函数图像在第 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ； （3）当时，y的取值范围为 ． 【考点4】反比例函数比例系数k的几何意义 【例4-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 　 　． 【例4-2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5． （1）求k和m的值； （2）当x≥8时，求函数值y的取值范围． 【例4-3】已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限． （1）求m的取值范围． （2）如图，O为坐标原点，点A在反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积