专题二 反比例函数中几何图形存在性问题（一） 讲义 2022--2023学年人教版九年级数学下册

九年级数学下分层优化堂堂清 第26章 反比例函数 专题二 反比例函数中几何图形存在性问题（一）（解析版） 类型一 等腰三角形的存在性 解题攻略 1、 构造等腰三角形的一般思路 平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。 2、 动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例： 1、 代数法 （1） 分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC； （2） 画图； ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为 顶点的等腰三角形 ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为 顶点的等腰三角形 ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为 顶点的等腰三角形 （3） 列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程 注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 2、几何法 （1） 设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标. （2） 利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度. （3） 分类列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC. 注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． 用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之. 例1如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标． 【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于A与B，且AD⊥x轴， ∴∠ADO＝90°， 在Rt△ADO中，AD＝4，sin∠AOD＝， ∴＝，即AO＝5， 根据勾股定理得：DO＝＝3， ∴A（﹣3，4）， 代入反比例解析式得：m＝﹣12，即y＝﹣， 把B坐标代入得：n＝6，即B（6，﹣2）， 代入一次函数解析式得：， 解得：，即y＝﹣x+2； （2）当OE3＝OE2＝AO＝5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）； 当OA＝AE1＝5时，得到OE1＝2AD＝8，即E1（0，8）； 当AE4＝OE4时，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为y＝﹣x，中点坐标为（﹣1.5，2）， ∴AO垂直平分线方程为y﹣2＝（x+）， 令x＝0，得到y＝，即E4（0，）， 综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）时，△AOE是等腰三角形． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 例2如图，正方形的顶点，点，反比例函数的图象经过点．    (1)试说明反比例函数的图象也经过点； (2)如图，正方形向下平移得到正方形，边在轴上，反比例函数的图象分别交正方形的边、于点、． ①求的面积； ②在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，或 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式求得值，再验证点即可； （2），即可求解； 分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：（1）点，点，四边形是正方形， 点，， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数表达式为：， 当时，得， 反比例函数的图象也经过点； （2）解：平移后点、、、的坐标分别为：、，、， 则平移后点横坐标为，则点， 同理点， ；    点、的坐标分别为：、， 设点，则，，， 当时，即，解得：或， 当时，点、、三点共线，故舍去，， 当时，同理可得：方程无实数根，舍去， 当时，同理可得：， 故点的坐标为：或，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是反