第1章 导数及其应用 练习-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 练习 一、单选题 1．已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（    ）． A． B． C． D． 4．已知函数的极值点为，若有且只有一个，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的导函数的图象如右下图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．设为可导函数，且，求的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，当（    ）时，在处有极小值. A．0 B．-1 C．1 D．-2 二、多选题 9．若函数在处取得极小值，则实数a的取值可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 10．已知函数，，其中e＝2.71828…，则下列说法中正确的有（    ）． A．函数与的图象没有交点 B．函数与的最大值相等 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增 11．设在处可导，下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 12．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．函数 在内是递增函数，则实数a的取值范围是 ． 14．已知函数在上不单调，则整数a的一个取值可能是 ． 15．设，，，…，，，则= 16．已知曲线上的两点和点Q，点Q的横坐标为，则割线PQ的斜率是 （用含的式子表示）． 四、解答题 17．求下列函数的导数． (1)； (2)． 18．设，证明． 19．已知定义域为的函数在上的最小值为1. (1)求实数的值； (2)若方程有两个不同的实数根，证明：. 20．已知函数． (1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率； (2)求函数f（x）的单调区间与极值； 21．已知函数，其中． (1)求曲线在点,处的切线方程 (2)如果过点可作曲线的三条切线 （i）当时，证明：； （ii）当时，写出的取值范围（不需要书写推证过程）． 22．已知函数（其中）. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 1．B 【分析】根据题意将不等式进行参变分离，得到在上恒成立，令，求函数的最小值即可. 【详解】因为，且恒成立， 则在上恒成立，令， 则，令，则， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得， 当时，，也即，此时函数单调递减； 当时，，也即，此时函数单调递增； 故， 因为，所以， 则，令，则，所以在上单调递增，则有， 所以 ， 所以，则， 故选：. 2．D 【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定的大小关系. 【详解】令，则，，有. 故函数在单调递增，故， 即，所以，即， 令，则，，有. 故函数在单调递减，故，即， 所以，即. 综上：. 故选：D 3．A 【分析】由已知，先根据函数的解析式判断其单调性，然后画出函数的图像，令，观察方程的解的个数，结合得到的方程的根与系数关系，即可完成求解. 【详解】当时，， ∴在上是减函数， 当时，， ∴在上是减函数，在上是增函数， 画出的大致图像如图所示： 设，则当时，方程有一解， 当时，方程有两解， 当时，方程有三解， 有，得， 若方程，有两解，，则， ∴方程不可能有个解． 故选：． 【点睛】嵌套类函数的解的个数问题，可使用换元法，令，将原先嵌套类函数转化为二次函数，借助原函数的图像和二次函数的根与系数关系，利用二次函数根的分布帮助求解. 4．B 【分析】由题可得在上有且只有一个变号零点，然后利用对勾函数的性质结合条件可得，即得. 【详解】因为函数在上有且只有一个极值点， 所以在上有且只有一个变号零点， 由，得， 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，． 由，解得． 故选：B. 5．D 【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析. 【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意； 对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意； 对于C，， 故函数不是奇函数，不符合题意； 对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意； 故选：D. 6．A 【分析】利用导函数与函数的单调性的关系即得. 【详解】由题可知，函数单调递增，，函数单调递增. 故BCD错误. 故选：A. 7．B 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答. 【详解】因为可导函数，且，则有=， 所以. 故选：