第3章 圆锥曲线与方程 练习-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 练习 一、单选题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且， 则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 3．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．9 C． D．4 4．已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 5．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的右焦点为，点、在双曲线上，且关于原点对称.若，且的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．设椭圆的方程为右焦点为，方程的两实根分别为，则 A．必在圆内 B．必在圆外 C．必在圆外 D．必在圆与圆形成的圆环之间 8．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．28 B．16 C．12 D．9 二、多选题 9．设抛物线的焦点为F，P为其上一点，点P在准线上的射影为，直线l与抛物线相交于A，B两点，下列结论正确的是（    ） A．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 B．设，则 C．当直线l过焦点F时，若直线l的倾斜角为，则 D．存在直线l，使得A、B两点关于对称 10．已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦距为2 B．过作圆切线的斜率为 C．若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为 D．的最小值为 11．抛物线的焦点是，直线与相交于，两点，是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．直线经过焦点的充要条件是 B．直线经过焦点的充要条件是 C．若直线经过焦点，且的最小值是9，则 D．若，且的面积最小值是16，则 12．对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．准线方程为 D．准线方程为 三、填空题 13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，|PF1|－|PF2|＝ . 14．已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为 ． 15．旅行者号探测器（Vogager2）于年月日在肯尼迪航天中心发射升空，迄今为止已经造访四颗气态巨行星（木星、土星、天王星、海王星）及其卫星，它的运行轨道为双曲线，假设其方程为，请写出一个与此双曲线的渐近线相同的双曲线标准方程 ． 16．已知直线与双曲线C：交于点，.为C上一点，且，，则△PAB的面积最大值为 . 四、解答题 17．如图，地在地东偏北方向，相距处，地与东西走向的高铁线（近似看成直线）相距已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到高铁线的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向地、地送电．    (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路所在曲线的方程； (2)问变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 18．动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 19．求适合下列条件的曲线的标准方程. (1)实轴长为，焦点坐标为，求双曲线的标准方程； (2)焦点在轴正半轴上，且焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程. 20．求解下列各题： (1)如图（1），反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，求它的实半轴长和半焦距； (2)如图（2），以（1）中双曲线的中心为原点，实轴所在的直线为x轴重新建立直角坐标系，求双曲线在这个坐标系中的方程．      21．如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且．    (1)求证：直线过定点； (2)设直线，相交于点，记，的面积分别为，，求的取值范围． 22．已知椭圆：的右焦点为F，直线交椭圆E于M，N两点，若，短轴的一个端点到直线l的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)已知的三个顶点都在椭圆上，坐标原点O是的重心，求证：的面积为定值. 参考答案： 1．C 【分析】设切点为，利用垂直关系可得，由题意结合双曲线的定义可得，，在中利用余弦定理解出的值即可求双曲线的离心率. 【详解】如图所示，