4.2.1.2 等差数列的性质及其应用课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1.2 等差数列的性质及其应用 讲课人：XXX 一、复习回顾 函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列. 如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 1.等差数列的定义 2.等差中项的定义 4.等差数列的函数特征 3.等差数列的通项公式 2A=a+b 2 一、复习回顾 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 数列 , , ， 是等差数列．( ) √ （2） 若一个数列的前4项分别为1, , , ，则 一定是等差数列．( ) × （3） 在等差数列 中， ， ， ， 任意给出三个，可求剩下的一个．( ) √ （4） 等差数列 的通项公式是关于 的一次函数．( ) × 3 二、合作探究 探究一：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？ 思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？ 4 二、合作探究 证明： 反例： 常数列 5 二、合作探究 等差数列一些常见的性质 （1）通项公式的推广公式： ． （2）若 为等差数列，且 ，则 ． (3)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 新知生成 6 二、合作探究 (5)若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列, 则 ①数列{c＋an}的公差为 ；②数列{c·an}的公差为 ； ③数列{an＋an＋k}的公差为 ；④数列{pan＋qbn}的公差为 . 2d pd＋qd′ d cd （4）在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列. 即：若 是等差数列，公差为 ，则 ， ， ， 是公差为 的等差数列． 若下标成等差数列，则对应的项成等差数列. 7 三、例题讲解 例1（1）已知等差数列 ， ， ，求 的值； （2）已知等差数列 ， ，求 的值； （3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值． 8 三、例题讲解 例1（1）已知等差数列 ， ， ，求 的值； 9 三、例题讲解 （2）已知等差数列 ， ，求 的值； （3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值． 10 二、合作探究 探究2 等差数列的综合问题 问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法： （1）设这三个数分别为 ， ， . （2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , . （3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , . 那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？ [答案] 方法（3）可能更便捷一些． 问题2：如果四个数成等差数列，那么如何设这四个数更方便运算？ 11 二、合作探究 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式. (2)当已知数列有 项时，可设为 ， ， ， ， ， ， ， ，此时公差为 . (3)当已知数列有 项时，可设为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，此时公差为 . 对称项设法 新知生成 12 三、例题讲解 例2 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数． 13 三、例题讲解 （法三）设这四个数分别为 ， ， ， ，根据题意， 得 化简得 解得 ∴这四个数分别为2, , , 或 , , , . 方法总结 等差数列项的常见设法： （1）通项法. （2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 . 14 四、能力提升 1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d 等于(　　) A．3　　　 B．－6　　　 C．4　　　 D．－3 B 15 C 四、能力提升 3．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A．7