解三角形、正余弦定理应用讲义-2024届高三数学一轮复习

运用正弦定理和余弦定理化简等式 【题型概述】 通常会给出一个包含三角形边和角的关系式和若干已知条件，然后利用正弦定理和余弦定理进行化简。 【知识与方法】 1．三角形中，大边对大角，大角对大边． 2. 常用三角形中的三角函数关系（利用三角形中A＋B＋C＝π的关系以及三角函数的诱导公式可推导） (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin＝cos； (4)cos＝sin. 3. 在实际问题处理中，要注意边化角和角化边的合理使用. 例如，对于式子acosA＝bcosB，我们采用边化角的方法更加简单，由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，而对于，角化边便显得更加容易一些，由正弦定理，可得，整理得，可推导出 例1.（求角度） 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，则B的大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】　D 【解析】　因为sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC， 所以b2－c2－a2＝ac， 即a2＋c2－b2＝－ac， 则cosB＝＝－， 又0°<B<180°，则B＝150°. 变式训练．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】　因为sinA，sinB，sinC成等比数列， 所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac， 又c＝2a，故cosB＝＝＝. 例2.（判断三角形形状）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】　C 【解析】　法一：由余弦定理可得a＝2b·，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，从而△ABC为等腰三角形． 法二：由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC， 因此sin(B＋C)＝2sinBcosC， 即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC， 于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C， 故△ABC为等腰三角形． 变式训练1. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】　B 【解析】　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1， 即A＝，∴△ABC为直角三角形． 变式训练2.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】　B. 【解析】　∵cos2＝，cos2＝， ∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝， ∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 解三角形中的最值问题 【题型概述】 解三角形题目中，有时不能解出具体的值，而是角或边存在的定值关系。这时三角形是变化的，变化过程中存在边长、周长、面积等量的最值。这时会需要用到基本不等式或函数的最值相关知识。 考点1、将三角形面积转化为三角函数求三角形面积的极值 例1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 【答案】（1）B＝60°；（2） 【解析】　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因为sin A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos， 故cos ＝2sincos. 因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 由(1)知A＋C＝120°， 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°. 结合A＋C＝120°，得30°<C<90°， 所以<a<2，从而<S△ABC< . 因此△ABC面积的取值范围是. 变式训练1.在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC面积S的最大值为_____. 【答案】　 【解析】　由C＝60°及＝＝2，可得