三角函数与恒等变形相关讲义-2024届高三数学一轮复习

1、 三角函数的平移变换 2、三角函数的化简与变形（二倍角公式、辅助角公式） 3、三角函数的单调区间 4、三角函数的恒等变换 5、三角函数的周期、对称轴、对称中心 三角函数的平移变换 【题型概述】 通常出现在选择或三角函数大题的设问中，考察函数图像的平移变换对应在解析式中的效果。 【知识与方法】 三角函数的平移问题：三角函数水平方向上的的平移问题要牢牢抓住在x的“正1倍”上面左加右减的原则. 垂直方向上的平移即为在整个函数式上加减 例. 求函数f（x）＝4sin向右平移个单位后的图像的解析式. 【解答】f(x)的图像向右平移个单位需要在x的正一倍上减去，所以平移后的解析式g(x)= = . 变式训练. 函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　) A. B2 C．1 D. 【答案】C 【解析】依题意得，函数f＝sin(ω>0)的图象过点， 于是有f＝sin＝sinωπ＝0(ω>0)， 所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*， 因此正数ω的最小值是1，故选C. 三角函数的化简与变形（二倍角公式、辅助角公式） 【题型概述】 考察三角函数的相关公式的灵活运用，通常是化简一个复杂的式子，最终化简为一个单一的三角函数，从而进一步解决其他问题。 【知识和方法】 1. 二倍角公式 2. 辅助角公式 常用的辅助角公式（可以当结论记）： 3. 常见的一些变型： (1) 公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－＝－1. (2) 降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α. (3) 升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2. (4) 常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 例1 (二倍角公式的应用)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 【答案】（1）2；（2）最小正周期是π， 【解析】(1)利用二倍角公式，f(x)＝－cos 2x－sin 2x ＝－2＝－2sin， 故f＝－2sin＝－2sin ＝2. (2)由(1)知f(x)＝－2sin. 则f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 变式训练.已知f(x)＝cos xsinx－＋1. (1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间； (2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝，sin Asin C＝sin2B，求a－c的值． 【答案】（1）和；（2）a－c＝0. 【解析】f(x)＝cos xsin＋1 ＝cos x＋1 ＝sin 2x－×＋1 ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋. (1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 又x∈[0，π]， ∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是和. (2) 由f(B)＝sin＋＝， 得sin＝1. 又B是△ABC的内角，∴2B－＝，得B＝. 由sin Asin C＝sin2B及正弦定理可得ac＝b2. 在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则a－c＝0. 例2.(辅助角公式) △ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，sin A＝sin C.若B＝，求tan A的值； 【答案】 6＋3； 【解析】∵C＝π－A－B＝－A， ∴sin A＝sin＝， ∴(2－)sin A＝3cos A，解得tan A＝6＋3. 变式训练.求函数的最小正周期。 【解答】 所以函数y的最小正周期T=π。 评注：将三角式化为y=Asin()+k的形式，是求周期的主要途径。 三角函数的单调区间 【题型概述】 三角函数的单调区间相关题目，考察常见三角函数的单调区间以及复合函数单调性的相关知识。 【知识与方法】 已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 例1：求函数f(x)＝4sin的单调递减区间 【解析