4.5.3函数模型的应用导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.3　函数模型的应用 【学习目标】 　　1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 　　2.能结合已知数据的特征,根据不同函数增长的差异,合理选择函数模型,并利用所建立的函数模型解决有关实际问题. ◆ 知识点一　指数函数模型 解析式:y=abx+c,条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1. ◆ 知识点二　对数函数模型 解析式:y=mlogax+n,条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1. ◆ 知识点三　应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤: (1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)求模——求解数学模型,得出数学结论; (4)还原——将数学结论还原为实际问题的解. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. (　 ) (2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. (　 ) (3)在不同的范围内,变量的对应关系不同时,可以选择分段函数模型. (　 ) (4)函数y=×3x+1属于幂函数模型. (　 ) ◆ 探究点一　指数函数模型 例1 某企业于2021年在基地投入200万元研发资金用于养殖业发展,并计划今后7年内在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长15%. (1)写出第x年(2022年为第1年)该企业投入的研发资金y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域. (2)该企业从第几年开始投入的研发资金将超过400万元?(参考数据:lg 0.15≈-0.824,lg 1.5≈0.176,lg 0.115≈-0.939,lg 1.15≈0.061,lg 2≈0.301) 变式 某市为确保水资源质量,规定所有工厂产生的废水必须经过脱硫过滤,否则不能向外排放.在脱硫过滤过程中,废水的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P0·e-kt,其中P0,k是正常数,现已知前2 h消除了10%的污染物. (1)4 h后还剩百分之多少的污染物? (2)至少需要花多长时间才能使污染物减少50%(精确到1 h)?(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) [素养小结] 在解决实际问题时,常见的增长率问题的解析式可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示. ◆ 探究点二　对数函数模型 例2 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度v(单位:km/min)可以表示为v=log3-lg x0,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差. (1)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量约为多少个单位? (2)若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1 km/min,则飞行时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍?(参考数据:lg 2≈0.3,31.4≈4.66) 变式 进入六月,青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上,进行产卵.经研究发现湟鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=log2,其中θ表示湟鱼每秒耗氧量的单位数. (1)当一条湟鱼每秒的耗氧量是500个单位时,它的游速约为多少(结果保留2位小数)? (2)当一条湟鱼的游速提高1 m/s时,它每秒的耗氧量变为原来的多少倍?(参考数据:lg 2≈0.3) [素养小结] 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多,此类问题一般是先给出对数函数模型,再利用对数运算性质求解. ◆ 探究点三　函数模型的选择 例3 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,而且可美容保健,因此深受人们喜欢,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表. t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据表中数据,从下列函数模型中选取最恰当的一个来描述Q与t的关系:Q=at+b(a≠0),Q=at2+bt+c(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0,且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0,且b≠1).并求出其解析式. (2)利用你选择的函数模型,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 变式 某新型企业为获得更大利润,需不断加大投资,当预计年利润低于年投资的10%时,该企业就考虑转型.下表显示的是该企业几年来年利润y(百