4.5.2用二分法求方程的近似解导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2　用二分法求方程的近似解 【学习目标】 　　1.理解用二分法求方程的近似解,知道用二分法求方程近似解的原理和步骤,并能借助信息技术用二分法求方程的近似解. 　　2.了解二分法只能用于变号零点的求解,能解决与方程近似解的有关问题. ◆ 知识点一　二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间　　　　,使所得区间的两个端点　　　　　　,进而得到零点　　　　的方法叫作二分法.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)可以用二分法求函数f(x)=(x+1)3的零点. (　 ) (2)函数f(x)=|x+1|的零点可以用二分法来求. (　 ) 2.用二分法求函数零点的适用条件是什么? ◆ 知识点二　用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: (1)确定零点x0的初始区间　　　　.这一步的关键在于:①使区间长度尽量小;②f(a),f(b)的值比较容易计算;③f(a),f(b)异号.  (2)求区间(a,b)的　　　　.利用公式c=即可求解.  (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间. ①若　　　　(此时x0=c),则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈　　　　),则令b=c;③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.这一步的目的是缩小零点所在的区间,也就是所谓的“二分”.  (4)判断是否达到精确度ε:若　　　　　　,则得到零点近似值a(或b);否则重复第(2)(3)(4)步.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在左侧区间内. (　 ) (2)用二分法所求出的方程的解都是近似解.(　 ) (3)精确度ε就是近似值. (　 ) (4)用二分法求方程f(x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.5)<0,f(0.562 5)<0,f(0.625)>0,则方程的近似解可以为0.625(精确度为0.1). (　 ) 2.(1)用二分法求方程的近似解时,如何决定步骤的结束? (2)你知道为什么当|a-b|<ε时,可将a或b的值看成方程的近似解吗? ◆ 探究点一　二分法的概念 例1 (1)下列说法正确的是 (　 ) A.利用二分法求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点都得到 B.利用二分法求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点 C.利用二分法求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点 D.利用二分法求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解 (2)(多选题)下列图象对应的函数能用二分法求零点近似值的是 (　 ) A B C D 图4-5-1 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)已知函数f(x)的图象如图4-5-2所示,则其零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为 (　 ) 图4-5-2 A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 (2)(多选题)下列函数中,能用二分法求零点近似值的是 ( 　) A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3 C.f(x)=|x| D.f(x)=ln x [素养小结] 判断一个函数能否用二分法求零点近似值的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. ◆ 探究点二　求方程的近似解 例2 (1)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点近似值时可以取的初始区间是 (　 ) A.[-2,-1] B. [-1,0] C. [0,1] D. [1,2] (2)已知函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值如下表所示. f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054 如果精确度为0.05,那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为 (　 ) A.1.25 B.1.375 C.1.437 5 D.1.5　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 用二分法求方程2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2). 参考数据: x 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x的近似值 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 [素养小结] 用二分法求方程的近似解的思路和方法: (1)根据函数的零点与相应方程解的关系,