零点问题、复合函数零点讲义-2024届高三数学一轮复习

由零点个数求参数范围 【题型概述】 通过直接求解或分离参数求取参数范围。考察函数与导数的熟练运用，综合性较强，需要多从题目中总结经验和方法。 【知识与方法】 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 例1.（分离参数求范围）（若函数f(x)＝m－x2＋2ln x在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为________． 【答案】. 【解析】令f(x)＝m－x2＋2ln x＝0，则m＝x2－2ln x．令g(x)＝x2－2ln x，则g′(x)＝2x－＝，∴g(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，又g＝4＋，g(e)＝e2－2，4＋＜5＜e2－2，∴g＜g(e)，数形结合知，若函数f(x)在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为. 变式训练.若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点， ∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解， 即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解． 方程a＝4x－2x可变形为a＝2－， ∵x∈[－1,1]，∴2x∈， ∴2－∈. ∴实数a的取值范围是. 例2.（分段函数数形结合）已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　) A．[1,3)　　　　　　　 　B．(1,3] C．[2,3) D．[1，＋∞) 【答案】A 【解析】　函数g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，等价于直线y＝k(x＋1)与函数y＝f(x)的图象在(－∞，1]上有两个不同的交点．作出f(x)的大致图象如图所示，因为直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，定点(－1,0)与点(1,2)和(0,3)连线的斜率分别为1和3，结合f(x)的图象可知k的取值范围是[1,3)． 变式训练. 已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 【思维点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 变式训练2.已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围. 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 复合函数的求根问题 【题型概述】 抽象函数实际上就是数形结合问题. 是否能够通过抽象函数的关系画出图像，是我们能否解决抽象函数问题的关键所在. 【知识与方法】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2. 判断函数零点的几个策略 (1)令f(x)＝0，直接求